6.1 পরিচিতি

এটি ভারতের একজন মহান গণিত বিজ্ঞানী, এস. রামানুজান সম্পর্কে একটি গল্প। একবার অন্য একজন বিখ্যাত গণিতবিদ প্রফেসর জি. এই. হার্ডি তাকে দেখতে এলেন যেখানে তার ট্যাক্সির নম্বর 1729 ছিল। রামানুজানের সাথে কথা বলার সময় হার্ডি এই সংখ্যাটি বর্ণনা করেন “একটি মৃদু সংখ্যা”। রামানুজান দ্রুত উল্লেখ করেন যে 1729 একটি আকর্ষণীয় সংখ্যা। সে বলেন যে এটি দুটি বিভিন্ন উপায়ে দুটি ঘন সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং এটি সেই ছোট্ট সংখ্যা:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

এরপর থেকে 1729 হার্ডি-রামানুজান সংখ্যা হিসাবে পরিচিত, যদিও 1729 এর এই বৈশিষ্ট্যটি রামানুজানের আগে প্রায় 300 বছর আগেই জ্ঞাত ছিল।

রামানুজান কীভাবে জানতেন? ভালো, সে সংখ্যার প্রতি ভালোবাসেন। সব

হার্ডি-রামানুজান সংখ্যা

1729 হল ছোট্ট হার্ডি-রামানুজান সংখ্যা। এই ধরনের সংখ্যাগুলি অসীম সংখ্যক। কয়েকটি হল 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, ব্র্যাকেটে দেওয়া সংখ্যাগুলির সাথে এটি যাচাই করুন। তাঁর জীবনের জন্য, সে সংখ্যার সাথে পরীক্ষা করেছিলেন। সম্ভবত সে সংখ্যাগুলি যা দুটি বর্গ ও দুটি ঘন সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছিল।

ঘন সংখ্যার অন্যান্য অনেক আকর্ষণীয় আদর্শ রয়েছে। আমরা ঘন সংখ্যা, ঘন বীজ ও তাদের সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য আকর্ষণীয় তথ্যগুলি শিখব।

6.2 ঘন সংখ্যা

আপনি জানেন যে ‘ঘন’ শব্দটি জ্যামিতিতে ব্যবহৃত হয়। ঘন হল এমন একটি কণ্ঠস্বর যার সব পাশ সমান। পাশের দৈর্ঘ্য $1 cm$ এমন কয়টি ঘন সংখ্যা পাশের দৈর্ঘ্য $2 cm$ এমন একটি ঘন তৈরি করবে?

পাশের দৈর্ঘ্য $1 cm$ এমন কয়টি ঘন সংখ্যা পাশের দৈর্ঘ্য $3 cm$ এমন একটি ঘন তৈরি করবে?

সংখ্যা $1,8,27, \ldots$ গ্রহণ করুন

আমরা দেখব $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$।

কারণ $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, তাই 125 একটি ঘন সংখ্যা।

9 কি একটি ঘন সংখ্যা? না, কারণ $9=3 \times 3$ এবং 9 প্রাপ্ত করতে তিনবার গ্রহণ করার জন্য কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা নেই। আমরা আবার দেখতে পাই $2 \times 2 \times 2=8$ এবং $3 \times 3 \times 3=27$। এটি দেখায় যে 9 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়।

1 থেকে 10 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির ঘন নিম্নরূপ:

টেবিল 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{সংখ্যাগুলি 729, 1000, 1728}\\ \text{এও পরিপূর্ণ ঘন।} \\ \hline \end{array} $

1 থেকে 1000 পর্যন্ত শুধুমাত্র দশটি পরিপূর্ণ ঘন আছে। (এটি যাচাই করুন)। 1 থেকে 100 পর্যন্ত কয়টি পরিপূর্ণ ঘন আছে?

জোড় সংখ্যাগুলির ঘন দেখুন। সবই জোড় কি? বিজোড় সংখ্যাগুলির ঘন সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

11 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির ঘন নিম্নরূপ:

টেবিল 2

একটি সংখ্যার একেকটি অঙ্কে 1 থাকলে (অথবা একক অঙ্কে) এমন কয়েকটি সংখ্যা গ্রহণ করুন। তাদের প্রত্যেকটির ঘন পাই। একটি সংখ্যার একেকটি অঙ্কে 1 থাকলে তার ঘনের একেকটি অঙ্ক সম্পর্কে আপনি কী বলতে পারেন?

একইভাবে, $2,3,4, \ldots$ দিয়ে সমাপ্ত সংখ্যাগুলির ঘনের একেকটি অঙ্ক অন্বেষণ করুন।

এই কাজ করুন

নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি সংখ্যার ঘনের একেকটি অঙ্ক নির্ণয় করুন।

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 কিছু আকর্ষণীয় আদর্শ

1. ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলির যোগ

বিজোড় সংখ্যাগুলির যোগের নিম্নলিখিত আদর্শ দেখুন।

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

এটি আকর্ষণীয় নয়? কতগুলি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা পাওয়া যাবে যাদের যোগফল $10^{3}$ হবে?

এই কাজ করুন

উর্ধ্বের আদর্শ ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করুন?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

নিম্নলিখিত আদর্শ গ্রহণ করুন।

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

উর্ধ্বের আদর্শ ব্যবহার করে, নিম্নলিখিত মান নির্ণয় করুন।

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ঘন সংখ্যা এবং তাদের প্রাইম ফ্যাক্টর

নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন এবং তাদের ঘন গ্রহণ করুন।

$\begin{array}{cc} \text{একটি সংখ্যার প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন} & \text{তার ঘনের প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{প্রত্যেকটি প্রাইম ফ্যাক্টর}\\ \text{তার ঘনে তিনবার দেখা যায়} \\ \hline \end{array} $

729 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন?

হ্যাঁ, 729 একটি পরিপূর্ণ ঘন।

একটি সংখ্যার প্রত্যেকটি প্রাইম ফ্যাক্টরের তার ঘনের প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনে তিনবার দেখা যায় তা দেখুন।

যেকোনো সংখ্যার প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনে, যদি প্রত্যেকটি ফ্যাক্টর তিনবার দেখা যায়, তবে সেই সংখ্যা কি একটি পরিপূর্ণ ঘন?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{আপনি কি মনে করেন যে}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

এটি সম্পর্কে চিন্তা করুন। 216 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন?

প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন দ্বারা, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

প্রত্যেকটি ফ্যাক্টর 3 বার দেখা যায়। $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ যা একটি পরিপূর্ণ ঘন! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

এরপর আমরা 500 এর জন্য যাচাই করি।

500 এর প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$।

তাই, 500 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়।

উদাহরণ 1 : 243 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন?

সমাধান: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{প্রতিফলনে }\\ \text{প্রতিফলনে }\\ \text{5 এর তিনটি আছে কিন্তু }\\ \text{2 এর শুধু দুটি আছে। }\\ \hline \end{array} $

উর্ধ্বের ফ্যাক্টরাইজেশনে $3 \times 3$ বাকি থাকবে 3 এর তিনটি গ্রুপিং করার পর। তাই, 243 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়।

এই কাজ করুন

নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনগুলি পরিপূর্ণ ঘন?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 পরিপূর্ণ ঘন হওয়ার জন্য ছোট্ট গুণক

রাজ একটি প্লাস্টিনের ঘনক্ষেত্র তৈরি করেছেন। ঘনক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ হয়েছে যথাক্রমে।

আনু জিজ্ঞাসা করেন যে তিনি কতগুলি এই ধরনের ঘনক্ষেত্র প্রয়োগ করবেন যাতে একটি পরিপূর্ণ ঘন তৈরি হয়? আপনি কী বলতে পারেন?

রাজ বলেন, ঘনক্ষেত্রের আয়তন $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

কারণ প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনে শুধুমাত্র একটি 2 আছে। তাই এটি একটি পরিপূর্ণ ঘন হওয়ার জন্য আমাদের $2 \times 2$, অর্থাৎ 4 প্রয়োজন। তাই, আমাদের একটি ঘন তৈরি করতে 4টি এই ধরনের ঘনক্ষেত্র প্রয়োজন।

উদাহরণ 2 : 392 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন? নয়তো, 392 কে গুণ করে পরিপূর্ণ ঘন প্রাপ্ত হওয়ার জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যা কী ছোট্ট হবে?

সমাধান: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

প্রাইম ফ্যাক্টর 7 তিনটি গ্রুপে দেখা যায় না। তাই, 392 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়। এটি একটি ঘন হওয়ার জন্য আমাদের আরও একটি 7 প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

তাই, 392 কে পরিপূর্ণ ঘন তৈরি করতে গুণ করার জন্য ছোট্ট প্রাকৃতিক সংখ্যা 7।

উদাহরণ 3 : 53240 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন? নয়তো, 53240 কে ভাগ করে পরিপূর্ণ ঘন প্রাপ্ত হওয়ার জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যা কী ছোট্ট হবে?

সমাধান: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

প্রাইম ফ্যাক্টর 5 তিনটি গ্রুপে দেখা যায় না। তাই, 53240 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়। ফ্যাক্টরাইজেশনে 5 শুধুমাত্র একবার দেখা যায়। যদি আমরা সংখ্যাটি 5 দিয়ে ভাগ করি, তবে প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনের প্রাইম ফ্যাক্টর 5 অন্তর্ভুক্ত হবে না।

তাই,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

তাই, 53240 কে পরিপূর্ণ ঘন তৈরি করতে ভাগ করার জন্য ছোট্ট সংখ্যা 5।

এই ক্ষেত্রে পরিপূর্ণ ঘনটি $=10648$।

উদাহরণ 4 : 1188 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন? নয়তো, 1188 কে ভাগ করে পরিপূর্ণ ঘন প্রাপ্ত হওয়ার জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যা কী ছোট্ট হবে?

সমাধান: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

প্রাইম ফ্যাক্টর 2 এবং 11 তিনটি গ্রুপে দেখা যায় না। তাই, 1188 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়। 1188 এর ফ্যাক্টরাইজেশনে প্রাইম 2 শুধুমাত্র দুটি বার দেখা যায় এবং প্রাইম 11 একবার দেখা যায়। তাই, যদি আমরা 1188 কে $2 \times 2 \times 11=44$ দিয়ে ভাগ করি, তবে প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনের প্রাইম ফ্যাক্টর 2 এবং 11 অন্তর্ভুক্ত হবে না।

তাই, 1188 কে পরিপূর্ণ ঘন তৈরি করতে ভাগ করার জন্য ছোট্ট প্রাকৃতিক সংখ্যা 44।

এ�그্রে পরিপূর্ণ ঘনটি $1188 \div 44=27(=3^{3})$।

উদাহরণ 5 : 68600 কি একটি পরিপূর্ণ ঘন? নয়তো, 68600 কে গুণ করে পরিপূর্ণ ঘন প্রাপ্ত হওয়ার জন্য ছোট্ট সংখ্যা কী হবে?

সমাধান: আমাদের আছে, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$। এই ফ্যাক্টরাইজেশনে, আমরা দেখব যে 5 এর তিনটি গ্রুপ নেই।

তাই, 68600 একটি পরিপূর্ণ ঘন নয়। এটি একটি পরিপূর্ণ ঘন হওয়ার জন্য আমরা এটি 5 দিয়ে গুণ করি। তাই,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ যা একটি পরিপূর্ণ ঘন। } \end{aligned} $

দেখুন 343 একটি পরিপূর্ণ ঘন। উদাহরণ 5 থেকে আমরা জানি যে 343000 এও একটি পরিপূর্ণ ঘন।

চিন্তা, আলোচনা এবং লেখা

নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনগুলি পরিপূর্ণ ঘন তা যাচাই করুন।

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000।

এই পরিপূর্ণ ঘনগুলিতে আপনি কী আদর্শ দেখেছেন?

অনুশীলন 6.1

1. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনগুলি পরিপূর্ণ ঘন নয়?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি সংখ্যাকে গুণ করে পরিপূর্ণ ঘন প্রাপ্ত হওয়ার জন্য ছোট্ট সংখ্যা নির্ণয় করুন।

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি সংখ্যাকে ভাগ করে পরিপূর্ণ ঘন প্রাপ্ত হওয়ার জন্য ছোট্ট সংখ্যা নির্ণয় করুন।

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. পারিক্ষিত একটি প্লাস্টিনের ঘনক্ষেত্র তৈরি করেন যার পাশের দৈর্ঘ্য $5 cm, 2 cm, 5 cm$। তিনি কতগুলি এই ধরনের ঘনক্ষেত্র প্রয়োগ করবেন যাতে একটি ঘন তৈরি হয়?

6.3 ঘন বীজ

যদি একটি ঘনের আয়তন $125 cm^{3}$, তবে এর পাশের দৈর্ঘ্য কত হবে? ঘনের পাশের দৈর্ঘ্য পাওয়ার জন্য আমাদের জানা প্রয়োজন এমন একটি সংখ্যার ঘন 125 এর সমান কী।

বর্গ বীজ পাওয়ার কাজটি, যেমন আপনি জানেন, বর্গ করার কাজের বিপরীত কাজ। একইভাবে, ঘন বীজ পাওয়ার কাজটি ঘন নির্ণয়ের কাজের বিপরীত কাজ।

আমরা জানি $2^{3}=8$; তাই আমরা বলি যে 8 এর ঘন বীজ 2।

আমরা $\sqrt[3]{8}=2$ লিখি। চিহ্ন $\sqrt[3]{ }$ ‘ঘন বীজ’ বোঝায়।

নিম্নলিখিত বিষয়গুলি গ্রহণ করুন:

6.3.1 প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি দ্বারা ঘন বীজ

3375 গ্রহণ করুন। আমরা প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন দ্বারা এর ঘন বীজ পাই:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

তাই, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ এর ঘন বীজ

একইভাবে, $\sqrt[3]{74088}$ পাওয়ার জন্য, আমাদের আছে,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

তাই, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

উদাহরণ 6 : 8000 এর ঘন বীজ নির্ণয় করুন।

সমাধান: 8000 এর প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$

তাই,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

উদাহরণ 7 : প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি দ্বারা 13824 এর ঘন বীজ নির্ণয় করুন।

সমাধান:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{। } $

তাই, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

চিন্তা, আলোচনা এবং লেখা

যেকোনো পূর্ণসংখ্যার জন্য বলুন সত্য নাকি মিথ্যা: $m, m^{2}<m^{3}$। কেন?

অনুশীলন 6.2

1. প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি দ্বারা নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি সংখ্যার ঘন বীজ নির্ণয় করুন।

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. বলুন সত্য নাকি মিথ্যা।

(i) যেকোনো বিজোড় সংখ্যার ঘন জোড় হয়।

(ii) একটি পরিপূর্ণ ঘন দুটি শূন্যের সাথে শেষ হয় না।

(iii) যদি একটি সংখ্যার বর্গের শেষে 5 থাকে, তবে তার ঘনের শেষে 25 থাকে।

(iv) শেষে 8 থাকা কোনো পরিপূর্ণ ঘন নেই।

(v) দুটি অঙ্কের সংখ্যার ঘন তিনটি অঙ্কের সংখ্যা হতে পারে।

(vi) দুটি অঙ্কের সংখ্যার ঘন সাত বা তার বেশি অঙ্ক থাকতে পারে।

(vii) একক অঙ্কের সংখ্যার ঘন একক অঙ্কের সংখ্যা হতে পারে।

আমরা কী আলোচনা করেছি?

1. সংখ্যাগুলি $1729,4104,13832$, হার্ডি-রামানুজান সংখ্যা বলে পরিচিত। এগুলি দুটি ঘন সংখ্যার যোগফল হিসাবে দুটি বিভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা যায়।

2. যখন একটি সংখ্যা তার সাথে তিনবার গুণ করা হয়, তখন প্রাপ্ত সংখ্যাগুলি ঘন সংখ্যা বলে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ $1,8,27, \ldots$ ইত্যাদি।

3. যেকোনো সংখ্যার প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশনে, যদি প্রত্যেকটি ফ্যাক্টর তিনবার দেখা যায়, তবে সেই সংখ্যা একটি পরিপূর্ণ ঘন।

4. চিহ্ন $\sqrt[3]{ }$ ঘন বীজ বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ $\sqrt[3]{27}=3$।