6.1 அறிமுகம்

இந்தியாவின் ஒரு மிகவும் மிகுந்த கணித உயிரினம், எஸ். ரமானுஜன் பற்றிய ஒரு கதை இது. ஒரு முறை மிகவும் பிரபலமான கணித ஆசிரியர் ஜி.ஹ. ஹேர்டி ஒரு தொடர்வண்டியில் இருந்து வந்து அவரை சந்தித்தார். அந்த தொடர்வண்டியின் எண் 1729 ஆக இருந்தது. ரமானுஜனுடன் பேசியபோது ஹேர்டி இந்த எண்ணை “ஒரு மங்கலான எண்” என விவரித்தார். ரமானுஜன் விரைவில் இந்த எண் 1729 மிகவும் சுவாரஸ்யமானது என குறிப்பிடினார். அவர் இது இரண்டு விரிவான முறைகளில் இரண்டு கனங்களின் கூட்டலாக அலகிடப்படக்கூடிய மிகவும் சிறிய எண் என்று கூறினார்:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 என்பது ஹேர்டி - ரமானுஜன் எண் என அறியப்பட்டது. இது ரமானுஜனுக்கு முன்பே இது பற்றி அறிந்திருந்தது. எனவே இது ரமானுஜனுக்கு முன்பே அறியப்பட்டிருந்தது.

ரமானுஜன் இதை எப்படி அறிந்தார்? ஆகையால் அவர் எண்களை விரும்பினார். அவர் அனைத்து எண்களையும் சோதித்திருந்தார். அவர் ஒரு எண்ணை இரண்டு வரிசைகளின் கூட்டலாக அலகிடக்கூடிய எண்களை முதலில் கண்டுபிடித்திருக்கலாம்.

கனங்களின் பல மற்றும் சுவாரஸ்யமான முடிவுகள் உள்ளன. இங்கே நாம் கனங்கள், கன வழிமுறைகள் மற்றும் அவற்றைப் பற்றிய பல சுவாரஸ்யமான விஷயங்களை படிப்போம்.

6.2 கனங்கள்

நீங்கள் அறிவீர்கள் என்று ‘கனம்’ என்ற சொல் உங்கள் வடிவியலில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கனம் என்பது அனைத்து பக்கங்களும் சமமான ஒரு திடமான வடிவம். பக்கம் $1 cm$ உள்ள எத்தனை கனங்கள் பக்கம் $2 cm$ உள்ள ஒரு கனத்தை உருவாக்கும்?

பக்கம் $1 cm$ உள்ள எத்தனை கனங்கள் பக்கம் $3 cm$ உள்ள ஒரு கனத்தை உருவாக்கும்?

எண்கள் $1,8,27, \ldots$ கவனியுங்கள்

நாம் கவனிப்போம் $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$.

ஏனெனில் $5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$, எனவே 125 ஒரு கன எண்.

9 ஒரு கன எணா? இல்லை, ஏனெனில் $9=3 \times 3$ மற்றும் இலக்கண எண்ணை மூன்று முறை எடுத்துக்கொள்வது 9 க்கு சரியானதாக இருக்காது. நீங்கள் பார்க்கலாம் மேலும் $2 \times 2 \times 2=8$ மற்றும் $3 \times 3 \times 3=27$. இது 9 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல என்பதை காட்டுகிறது.

1 முதல் 10 வரையிலான எண்களின் கனங்கள் பின்வருமாறு.

அட்டவணை 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{எண்கள் 729, 1000, 1728}\\ \text{முழுமையான கனங்களும்.} \\ \hline \end{array} $

1 முதல் 1000 வரை முழுமையான கனங்கள் போதுமானால் பத்து மட்டுமே உள்ளன. (இதை சரிபார்க்கவும்). 1 முதல் 100 வரை முழுமையான கனங்கள் எத்தனை உள்ளன?

முழுகிய எண்களின் கனங்களை கவனியுங்கள். அவை அனைத்தும் முழுகியவையா? ஒரு எண்ணின் கனம் ஒரு ஒற்றை எண்களின் கனங்கள் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்?

11 முதல் 20 வரையிலான எண்களின் கனங்கள் பின்வருமாறு.

அட்டவணை 2

ஒரு ஒற்றை இலக்கத்தில் 1 உள்ள சில எண்களைக் கவனியுங்கள் (அல்லது ஒரு இலக்கம்). அவற்றின் கனத்தை கண்டுபிடிக்கவும். ஒரு எண்ணின் ஒரு இலக்கம் 1 ஆக இருந்தால் அதன் கனத்தின் ஒரு இலக்கம் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்?

இப்படியே ஒரு இலக்கத்தில் $2,3,4, \ldots$ முடியும் எண்களின் கனத்தின் ஒரு இலக்கத்தை ஆராயுங்கள்.

இதை முயற்சிக்கவும்

பின்வரும் எண்களின் கனத்தின் ஒரு இலக்கத்தை கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 சில சுவாரஸ்யமான முடிவுகள்

1. ஒற்றை எண்களை சேர்ப்பது

ஒற்றை எண்களின் கூட்டல் முடிவுகளை பின்வருமாறு பார்க்கவும்.

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

இது சுவாரஸ்யமானதா? என்ன ஒற்றை எண்களை சேர்ப்பது $10^{3}$ என்பதை பெற தேவைப்படும்?

இதை முயற்சிக்கவும்

பின்வரும் எண்களை மேலே உள்ள முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி ஒற்றை எண்களின் கூட்டலாக வெளிப்படுத்துங்கள்?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

பின்வரும் முடிவைக் கவனியுங்கள்.

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

மேலே உள்ள முடிவைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. கனங்கள் மற்றும் அவற்றின் தொடக்க காரணிகள்

பின்வரும் எண்களின் தொடக்க காரணிகள் மற்றும் அவற்றின் கனங்களின் தொடக்க காரணிகளைக் கவனியுங்கள்.

$\begin{array}{cc} \text{ஒரு எண்ணின் தொடக்க காரணிகள்} & \text{அதன் கனத்தின் தொடக்க காரணிகள்} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ஒவ்வொரு தொடக்க காரணிகளும்}\\ \text{அவற்றின் கனங்களில் மூன்று முறை வரும்} \\ \hline \end{array} $

729 ஒரு முழுமையான கனமா?

ஆம், 729 ஒரு முழுமையான கனம்.

ஒரு எண்ணின் ஒவ்வொரு தொடக்க காரணியும் அதன் கனத்தின் தொடக்க காரணிகளில் மூன்று முறை வரும் என்பதை கவனியுங்கள்.

எந்த எண்ணின் தொடக்க காரணிகளிலும் ஒவ்வொரு காரணியும் மூன்று முறை வருமானால், அந்த எண் ஒரு முழுமையான கனமா?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{நீங்கள் நினைவில் உள்ளதா}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

இதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். 216 ஒரு முழுமையான கனமா?

தொடக்க காரணிகளைப் பயன்படுத்தி, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ஒவ்வொரு காரணியும் 3 முறை வரும். $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ இது ஒரு முழுமையான கனமா! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

இப்போது 500 க்காக சரிபார்க்கலாம்.

500 இன் தொடக்க காரணிகள் $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$.

எனவே, 500 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 1 : 243 ஒரு முழுமையான கனமா?

தீர்வு: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{பெரியோரம் மூன்று}\\ \text{5’கள் பெரியோரத்தில் உள்ளன}\\ \text{ஆனால் இரண்டு 2’கள் மட்டுமே உள்ளன.} \\ \hline \end{array} $

மேலே உள்ள அலகிடலில் $3 \times 3$ மீதியாக மூன்று ‘மூன்றுகளை’ கூட்டியபின் இருந்து. எனவே, 243 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல.

இதை முயற்சிக்கவும்

பின்வரும் எண்களில் எது முழுமையான கனங்கள்?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 முழுமையான கனமாக இருக்கும் மிகவும் சிறிய பெருக்கி

ராஜ் ஒரு பொட்டோட்டில் உள்ள ஒரு பக்கவாட உருண்டை உருவாக்கினார். பக்கவாடத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ ஆக இருந்தன என்பதால்.

அனு எத்தனை போன்ற பக்கவாடங்களை அவள் தேவைப்படுத்தும் என்று கேட்கிறாள்? நீங்கள் அதை சொல்ல முடியுமா?

ராஜ் கூறினார், பக்கவாடத்தின் அளவு $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

தொடக்க காரணிகளில் 2 ஒரு முறை மட்டுமே உள்ளதால். எனவே அதை ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற நாம் $2 \times 2$, அதாவது 4 தேவைப்படும். எனவே, ஒரு கனத்தை உருவாக்க நாம் 4 போன்ற பக்கவாடங்களை தேவைப்படுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : 392 ஒரு முழுமையான கனமா? இல்லையெனில், 392 ஐ எதனுடன் பெருக்கினால் பெருக்கல் ஒரு முழுமையான கனமாக இருக்கும்?

தீர்வு: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

தொடக்க காரணி 7 மூன்று முறை கூட்டலில் வரவில்லை. எனவே, 392 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல. அதை கனமாக மாற்ற நாம் ஒரு மட்டும் 7 தேவைப்படும். அப்போது

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

எனவே, 392 ஐ ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அதை பெருக்க வேண்டிய மிகவும் சிறிய இலக்கண எண் 7 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3 : 53240 ஒரு முழுமையான கனமா? இல்லையெனில், 53240 ஐ எதனால் பகுப்பது பகுதி ஒரு முழுமையான கனமாக இருக்கும்?

தீர்வு: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

தொடக்க காரணி 5 மூன்று முறை கூட்டலில் வரவில்லை. எனவே, 53240 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல. அலகிடலில் 5 ஒரு முறை மட்டுமே வரும். நாம் எண்ணை 5 ஆல் பகுத்தால், பகுதியின் தொடக்க காரணிகளில் 5 இருக்காது.

எனவே,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

எனவே, 53240 ஐ ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அதை பகுக்க வேண்டிய மிகவும் சிறிய எண் 5 ஆகும்.

அப்போது உள்ள முழுமையான கனம் $=10648$.

எடுத்துக்காட்டு 4 : 1188 ஒரு முழுமையான கனமா? இல்லையெனில், 1188 ஐ எதனால் பகுப்பது பகுதி ஒரு முழுமையான கனமாக இருக்கும்?

தீர்வு: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

தொடக்க காரணிகள் 2 மற்றும் 11 மூன்று முறை கூட்டலில் வரவில்லை. எனவே, 1188 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல. 1188 இன் அலகிடலில் தொடக்க காரணி 2 இரண்டு முறை மட்டுமே வரும் மற்றும் தொடக்க காரணி 11 ஒரு முறை மட்டுமே வரும். எனவே, நாம் 1188 ஐ $2 \times 2 \times 11=44$ ஆல் பகுத்தால், பகுதியின் தொடக்க காரணிகளில் 2 மற்றும் 11 இருக்காது.

எனவே, 1188 ஐ ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அதை பகுக்க வேண்டிய மிகவும் சிறிய இலக்கண எண் 44 ஆகும்.

மேலும் இதன் விளைவான முழுமையான கனம் $1188 \div 44=27(=3^{3})$.

எடுத்துக்காட்டு 5 : 68600 ஒரு முழுமையான கனமா? இல்லையெனில், 68600 ஐ எதனுடன் பெருக்கினால் பெருக்கல் ஒரு முழுமையான கனமாக இருக்கும்?

தீர்வு: நாம் உள்ளீடு, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$. இந்த அலகிடலில், நாம் மூன்று முறை வரும் 5 என்பதைக் கண்டோம்.

எனவே, 68600 ஒரு முழுமையான கனம் அல்ல. அதை ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அதை 5 ஆல் பெருக்கினால்,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ இது ஒரு முழுமையான கனம்.} \end{aligned} $

68600 ஐ ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அதை பெருக்க வேண்டிய மிகவும் சிறிய எண் 5 ஆகும்.

68600 ஐ ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அதை பெருக்க வேண்டிய மிகவும் சிறிய எண் 5 ஆகும்.

மேலும் 343 ஒரு முழுமையான கனம். எடுத்துக்காட்டு 5 இல் நாம் 343000 முழுமையான கனம் என அறிந்துள்ளோம்.

நினைவூட்டு, விவாதித்து எழுது

பின்வரும் எண்களில் எது முழுமையான கனங்கள் என்பதை சரிபார்க்கவும்.

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

இந்த முழுமையான கனங்களில் நீங்கள் என்ன முடிவைக் கண்டீர்கள்?

பாடசாலை 6.1

1. பின்வரும் எண்களில் எது முழுமையான கனங்கள் அல்ல?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. பின்வரும் எண்களை ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அவற்றை எதனுடன் பெருக்க வேண்டும் என்பதைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. பின்வரும் எண்களை ஒரு முழுமையான கனமாக மாற்ற அவற்றை எதனால் பகுப்பது பகுதி ஒரு முழுமையான கனமாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. பரிக்ஷித் பொட்டோட்டில் உள்ள ஒரு பக்கவாடத்தை உருவாக்கினார். அதன் பக்கங்கள் $5 cm, 2 cm, 5 cm$. அவர் ஒரு கனத்தை உருவாக்க எத்தனை போன்ற பக்கவாடங்களை தேவைப்படுத்தும்?

6.3 கன வழிமுறைகள்

ஒரு கனத்தின் அளவு $125 cm^{3}$ எனில் அதன் பக்கத்தின் நீளம் என்ன? கனத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தை பெற நாம் 125 இன் கனமாக இருக்கும் எண்ணை அறிய வேண்டும்.

நீங்கள் அறிந்துள்ளபடி, வர்க்கம் செய்வதற்கு எதிரான செயல் வர்க்க வழிமுறையாகும். அதே வகையில், கன வழிமுறையைக் கண்டுபிடிப்பது கனத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு எதிரான செயலாகும்.

நாம் அறிவோம் $2^{3}=8$; எனவே நாம் கன வழிமுறை 8 இன் 2 என்று சொல்கிறோம்.

நாம் எழுதுவோம் $\sqrt[3]{8}=2$. சின்ன சின்ன $\sqrt[3]{ }$ குறிக்கிறது ‘கன வழிமுறை’.

பின்வரும் விஷயத்தைக் கவனியுங்கள்:

6.3.1 தொடக்க காரணிகளைப் பயன்படுத்தி கன வழிமுறை

3375 ஐக் கவனியுங்கள். நாம் அதன் கன வழிமுறையை தொடக்க காரணிகளைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்போம்:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

எனவே, கன வழிமுறை $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$

அதே வகையில், $\sqrt[3]{74088}$ ஐக் கண்டுபிடிக்க,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

எனவே, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

எடுத்துக்காட்டு 6 : 8000 இன் கன வழிமுறையைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு: 8000 இன் தொடக்க காரணிகள் $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$

எனவே,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

எடுத்துக்காட்டு 7 : தொடக்க காரணிகளைப் பயன்படுத்தி 13824 இன் கன வழிமுறையைக் கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

எனவே, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

நினைவூட்டு, விவாதித்து எழுது

எந்த இலக்கண எண்ணிற்கும் $m, m^{2}<m^{3}$ என்பது உண்மையா அல்லது பொய்யா? ஏன்?

பாடசாலை 6.2

1. பின்வரும் எண்களின் கன வழிமுறையை தொடக்க காரணிகளைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும்.

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. உண்மை அல்லது பொய் என்று கூறுங்கள்.

(i) ஒவ்வொரு ஒற்றை எண்ணின் கனமும் முழுகியதா?

(ii) ஒரு முழுமையான கனம் இரண்டு முடிவுகளைக் கொண்டிருக்காது.

(iii) ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்தின் முடிவு 5 ஆக இருந்தால், அதன் கனத்தின் முடிவு 25 ஆகும்.

(iv) முடிவில் 8 இன் முடிவில் இருக்கும் முழுமையான கனம் எதுவுமில்லை.

(v) இரண்டு இலக்க எண்ணின் கனம் மூன்று இலக்க எண்ணாக இருக்கலாம்.

(vi) இரண்டு இலக்க எண்ணின் கனம் ஏழ் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்.

(vii) ஒரு ஒற்றை இலக்க எண்ணின் கனம் ஒரு ஒற்றை இலக்க எண்ணாக இருக்கலாம்.

நாம் என்ன பேசினோம்?

1. எண்கள் போன்ற ஹேர்டி - ரமானுஜன் எண்கள் அறியப்படுகின்றன. இவை இரண்டு விரிவான முறைகளில் இரண்டு கனங்களின் கூட்டலாக அலகிடப்படக்கூடியவை.

2. ஒரு எண்ணை அதன் போது மூன்று முறை பெருக்கினால் பெறப்படும் எண்கள் கன எண்கள் என அறியப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக $1,8,27, \ldots$ முதலியவை.

3. எந்த எண்ணின் தொடக்க காரணிகளிலும் ஒவ்வொரு காரணியும் மூன்று முறை வருமானால், அந்த எண் ஒரு முழுமையான கனமாகும்.

4. சின்ன சின்ன $\sqrt[3]{ }$ கன வழிமுறையைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக $\sqrt[3]{27}=3$.