6.1 परिचय

हे भारताच्या एका महान गणितज्ञाच्या कथेचे आहे, एस. रामान्युजन. एकदा इतर एक प्रसिद्ध गणितज्ञ प्रॉफेसर जी.एच. हार्डी त्याच्याशी भेट देण्यासाठी एका टॅक्सीमधून येताना ज्याचा क्रमांक 1729 होता. रामान्युजनशी बोलण्यासाठी हार्डीने हे क्रमांक वर्णन केले “एक गमक क्रमांक”. रामान्युजनने खूप जलदीने दाखवले की 1729 खरोखरच रूपकीय होते. ते म्हणाले की ते दोन वेगळ्या मार्गांनी दोन त्रिभुजांच्या बेरीजी म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकणारे सर्वात लहान क्रमांक आहे:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

1729 आता हार्डी - रामान्युजन क्रमांक म्हणून ओळखले जाते, जरी 1729 चे हे गुणधर्म रामान्युजनपूर्वी 300 वर्षांपूर्वीच ओळखले गेले होते.

रामान्युजन हे कसे ओळखले? बरं, ते क्रमांकांचा प्रेम करत होते. सर्व

हार्डी - रामान्युजन क्रमांक

1729 हे सर्वात लहान हार्डी-रामान्युजन क्रमांक आहे. अनंत असे क्रमांक असतात. काही उदाहरणे 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, त्यांच्या कोणत्याही क्रमांकांशी तुलना करून तपासा. त्याच्या आयुष्यात ते क्रमांकांचा प्रयोग करत होते. ते शेवटच्या दोन वर्गांच्या बेरीजी आणि दोन त्रिभुजांच्या बेरीजी म्हणून व्यक्त केलेल्या क्रमांकांचा शोध घेणे शक्य होते.

त्रिभुजांच्या अनेक इतर रूपकीय आकृती आहेत. चला त्रिभुज, त्रिभुज बाजूंचे अवलंब आणि त्यांशी संबंधित अनेक रूपकीय घटकांबद्दल शिकूया.

6.2 त्रिभुज

तुम्हाला माहिती आहे की ‘त्रिभुज’ शब्द ज्योमितीमध्ये वापरला जातो. त्रिभुज हा एक ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठराविक आकाराचा असणारा ठरा�