6.1 ಪರಿಚಯ

ಇದು ಭಾರತದ ಮಹಾನ್ ಗಣಿತ ಜೀನಿಯಸ್ ಎಸ್. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಕಥೆಯಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪ್ರೊ. ಜಿ.ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ ಅವರು 1729 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಯಲ್ಲಿ ಅವರನ್ನು ಭೇಟಿ ಮಾಡಲು ಬಂದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವಾಗ, ಹಾರ್ಡಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು “ನೀರಸ ಸಂಖ್ಯೆ” ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ತಕ್ಷಣವೇ 1729 ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದರು:

$ \begin{aligned} & 1729=1728+1=12^{3}+1^{3} \\ & 1729=1000+729=10^{3}+9^{3} \end{aligned} $

ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರಿಗಿಂತ 300 ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲೇ 1729 ರ ಈ ವಿಶೇಷತೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ, ಅದರ ನಂತರ 1729 ಅನ್ನು ಹಾರ್ಡಿ - ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ರಾಮಾನುಜನ್ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರು? ಸರಿ, ಅವರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಎಲ್ಲಾ

ಹಾರ್ಡಿ - ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ

1729 ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಕೆಲವು 4104 $(2,16 ; 9,15), 13832(18,20$; $2,24)$, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ತಮ್ಮ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ, ಅವರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಅವರು ಬಹುಶಃ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದರು.

ಘನಗಳ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮಾದರಿಗಳಿವೆ. ಘನಗಳು, ಘನಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಇತರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಕಲಿಯೋಣ.

6.2 ಘನಗಳು

‘ಘನ’ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಘನವು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಘನ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. $1 cm$ ಬದಿಯ ಎಷ್ಟು ಘನಗಳು $2 cm$ ಬದಿಯ ಘನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ?

$1 cm$ ಬದಿಯ ಎಷ್ಟು ಘನಗಳು $3 cm$ ಬದಿಯ ಘನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ?

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $1,8,27, \ldots$

ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ $1=1 \times 1 \times 1=1^{3} ; 8=2 \times 2 \times 2=2^{3} ; 27=3 \times 3 \times 3=3^{3}$.

$5^{3}=5 \times 5 \times 5=125$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, 125 ಒಂದು ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

9 ಒಂದು ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $9=3 \times 3$ ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಗುಣಿಸಿದಾಗ 9 ನೀಡುವ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ. ನಾವು $2 \times 2 \times 2=8$ ಮತ್ತು $3 \times 3 \times 3=27$ ಎಂದು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು. ಇದು 9 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 1

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 729, 1000, 1728}\\ \text{ಸಹ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳಾಗಿವೆ.} \\ \hline \end{array} $

1 ರಿಂದ 1000 ರವರೆಗೆ ಕೇವಲ ಹತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳಿವೆ. (ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ). 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗೆ ಎಷ್ಟು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳಿವೆ?

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮವೇ? ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

11 ರಿಂದ 20 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2

ಒಂದರ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕ (ಅಥವಾ ಏಕಮಾನ) 1 ಆಗಿರುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಘನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಒಂದರ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕ 1 ಆಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನದ ಏಕಮಾನದ ಅಂಕದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಅಂತೆಯೇ, $2,3,4, \ldots$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಗಳ ಏಕಮಾನದ ಅಂಕವನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನದ ಏಕಮಾನದ ಅಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) 3331 $\quad$ (ii) 8888 $\quad$ (iii) 149 (iv) 1005

(v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53

6.2.1 ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮಾದರಿಗಳು

1. ಸತತ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು

ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & \\ 3+5 & =1=8 \\ 7+9+11 & =27=1^{3} \\ 13+15+17+19 & =64=3^{3} \\ 21+23+25+27+29 & =125=4^{3} \end{aligned} $

ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿಲ್ಲವೇ? ಮೊತ್ತವನ್ನು $10^{3}$ ಎಂದು ಪಡೆಯಲು ಎಷ್ಟು ಸತತ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ?

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ?

(a) $6^{3}$ $\quad$ (b) $8^{3}$ $\quad$ (c) $7^{3}$

ಕೆಳಗಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=1+2 \times 1 \times 3 \\ & 3^{3}-2^{3}=1+3 \times 2 \times 3 \\ & 4^{3}-3^{3}=1+4 \times 3 \times 3 \end{aligned} $

ಮೇಲಿನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) $7^{3}-6^{3}$ $\quad$ (ii) $12^{3}-11^{3}$ $\quad$ (iii) $20^{3}-19^{3}$ $\quad$ (iv) $51^{3}-50^{3}$

2. ಘನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಘನಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$\begin{array}{cc} \text{ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ} & \text{ಅದರ ಘನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ} \\ 4 = 2 \times 2 & 4^3 = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \\ 6 = 2 \times 3 & 6^3=216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \\ 15 = 3 \times 5 & 15^3 = 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \\ 12 = 2 \times 2 \times 3 & 12^3 = 1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವೂ}\\ \text{ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ} \\ \text{ಅದರ ಘನಗಳಲ್ಲಿ} \\ \hline \end{array} $

729 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ?

ಹೌದು, 729 ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವು ಅದರ ಘನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಮೂರು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಆಗ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ?

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ}\\ a^m \times b^m = (a \times b)^m \\ \hline \end{array} $

ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ. 216 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ?

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಿಂದ, $216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3$

ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು 3 ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. $216=2^{3} \times 3^{3}=(2 \times 3)^{3}$ $=6^{3}$ ಇದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿದೆ! $729=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{3 \times 3 \times 3}$

ಈಗ 500 ಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

500 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವು $2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, 500 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : 243 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ?

ಪರಿಹಾರ: $243=\underline{3 \times 3 \times 3} \times 3 \times 3$

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{ಗುಣಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಮೂರು }\\ \text{5’ಗಳು ಇವೆ ಆದರೆ } \\ \text{ಕೇವಲ ಎರಡು 2’ಗಳು. } \\ \hline \end{array} $

ಮೇಲಿನ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ $3 \times 3$ ಮೂರು ಟ್ರಿಪ್ಲೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 243 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳು?

1. 400

2. 3375

3. 8000

4. 15625

5. 9000

6. 6859

7. 2025

8. 10648

6.2.2 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಗುಣಕ

ರಾಜ್ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿನ್ನಿಂದ ಒಂದು ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಘನಾಕೃತಿಯ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $15 cm$, $30 cm, 15 cm$ ಆಗಿವೆ.

ಅನು ಅವರು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನು ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಅಂತಹ ಘನಾಕೃತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ? ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

ರಾಜ್ ಹೇಳಿದರು, ಘನಾಕೃತಿಯ ಘನಫಲವು $15 \times 30 \times 15=3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5$ ಆಗಿದೆ

$ =2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5} $

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು 2 ಇರುವುದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ $2 \times 2$, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು 4 ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಘನವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ 4 ಅಂತಹ ಘನಾಕೃತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : 392 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 392 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ: $392=\underline{2 \times 2 \times 2} \times 7 \times 7$

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ 7 ಮೂರರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 392 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಇನ್ನೊಂದು 7 ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

$ 392 \times 7=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2744 $

ಆದ್ದರಿಂದ 392 ಅನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : 53240 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 53240 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾವುದು ಇದರಿಂದ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ: $53240=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} \times 5$

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ 5 ಮೂರರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 53240 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ. ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ 5 ಕೇವಲ ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ 5 ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ 53240 \div 5=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{11 \times 11 \times 11} $

ಆದ್ದರಿಂದ 53240 ಅನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಆಗಿದೆ.

ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವು $=10648$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : 1188 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 1188 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾವುದು ಇದರಿಂದ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ: $1188=2 \times 2 \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times 11$

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಮತ್ತು 11 ಮೂರರ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 1188 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ. 1188 ರ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಕೇವಲ ಎರಡು ಬಾರಿ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 11 ಒಮ್ಮೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 1188 ಅನ್ನು $2 \times 2 \times 11=44$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು 11 ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ 1188 ಅನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 44 ಆಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವು $1188 \div 44=27(=3^{3})$ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : 68600 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, 68600 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಪರಿಹಾರ: ನಮಗಿದೆ, $68600=2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$. ಈ ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ, 5 ರ ಟ್ರಿಪ್ಲೆಟ್ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, 68600 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅದನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ,

$ \begin{aligned} 68600 \times 5 & =2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 \\ & =343000, \text{ ಇದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿದೆ. } \end{aligned} $

343 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆ 5 ರಿಂದ 343000 ಸಹ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳು ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

(i) 2700 $\quad$ (ii) 16000 $\quad$ (iii) 64000 $\quad$ (iv) 900

(v) 125000 $\quad$ (vi) 36000 $\quad$ (vii) 21600 $\quad$(viii) 10,000

(ix) 27000000 (x) 1000.

ಈ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಅಭ್ಯಾಸ 6.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನಗಳಲ್ಲ?

(i) 216 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 1000 $\quad$ (iv) 100 $\quad$

(v) 46656

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

(i) 243 $\quad$ (ii) 256 $\quad$ (iii) 72 $\quad$ (iv) 675 $\quad$

(v) 100

3. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಇದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

(i) 81 $\quad$ (ii) 128 $\quad$ (iii) 135 $\quad$ (iv) 192 $\quad$

(v) 704

4. ಪರಿಕ್ಷಿತ್ $5 cm, 2 cm, 5 cm$ ಬದಿಗಳ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿನ್ನ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಘನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅವರಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಅಂತಹ ಘನಾಕೃತಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ?

6.3 ಘನಮೂಲಗಳು

ಒಂದು ಘನದ ಘನಫಲವು $125 cm^{3}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು? ಘನದ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನ 125 ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಯಬೇಕು.

ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವರ್ಗ ಮಾಡುವ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಘನಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಘನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

$2^{3}=8$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ 8 ರ ಘನಮೂಲ 2 ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು $\sqrt[3]{8}=2$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. $\sqrt[3]{ }$ ಚಿಹ್ನೆಯು ‘ಘನಮೂಲ’ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

6.3.1 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಘನಮೂಲ

3375 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಅದರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

$ 3375=\underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{5 \times 5 \times 5}=3^{3} \times 5^{3}=(3 \times 5)^{3} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $3375=\sqrt[3]{3375}=3 \times 5=15$ ರ ಘನಮೂಲ

ಅಂತೆಯೇ, $\sqrt[3]{74088}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಮಗೆ ಇದೆ,

$ 74088=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3} \times \underline{7 \times 7 \times 7}=2^{3} \times 3^{3} \times 7^{3}=(2 \times 3 \times 7)^{3} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\sqrt[3]{74088}=2 \times 3 \times 7=42$

ಉದಾಹರಣೆ 6 : 8000 ರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: 8000 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವು $\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{5 \times 5 \times 5}$ ಆಗಿದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ,

$ \sqrt[3]{8000}=2 \times 2 \times 5=20 $

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ 13824 ರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

$ 13824=\underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{2 \times 2 \times 2} \times \underline{3 \times 3 \times 3}=2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3} \text{. } $

ಆದ್ದರಿಂದ, $\sqrt[3]{13824}=2 \times 2 \times 2 \times 3=24$

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $m, m^{2}<m^{3}$ ಗೆ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಹೇಳಿ. ಏಕೆ?

ಅಭ್ಯಾಸ 6.2

1. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) 64 $\quad$ (ii) 512 $\quad$ (iii) 10648 $\quad$ (iv) 27000 $\quad$ (v) 15625

(vi) 13824 $\quad$ (ix) 175616 $\quad$ (x) 91125 $\quad$ (vii) 110592 $\quad$ (viii) 46656

2. ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು ಎಂದು ಹೇಳಿ.

(i) ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ii) ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವು ಎರಡು ಶೂನ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.

(iii) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು 5 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ, ಅದರ ಘನವು 25 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

(iv) 8 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಿಲ್ಲ.

(v) ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಮೂರು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.

(vi) ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಏಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

(vii) ಒಂದೇ ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಒಂದೇ ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.

ನಾವು ಏನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ?

1. $1729,4104,13832$, ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹಾರ್ಡಿ - ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ತಿಳಿದಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

2. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ $1,8,27, \ldots$ ಇತ್ಯಾದಿ.

3. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವ