8.1 বীজগণিত অভিব্যক্তির যোগ ও বিয়োগ

আগের শ্রেণিতে আমরা ইতিমধ্যে বীজগণিত অভিব্যক্তি (অথবা শুধুমাত্র অভিব্যক্তি) কী এমন তা জানতে পেরেছি। অভিব্যক্তির উদাহরণ হলো:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ ইত্যাদি } $

আগের শ্রেণিতে আমরা ইতিমধ্যে বীজগণিত অভিব্যক্তি যোগ করতে এবং বিয়োগ করতে কীভাবে করা হয় তা শিখেছি। উদাহরণস্বরূপ, $7 x^{2}-4 x+5$ এবং $9 x-10$ যোগ করতে চাইলে আমরা করি

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

যোগ করার পদ্ধতি কীভাবে তা দেখুন। আমরা যে অভিব্যক্তিগুলি যোগ করতে চাই সেগুলি পৃথক সারিতে লিখি। এটি করার সময় আমরা একই ধরনের পদ একে অপরের নিচে লিখি এবং তাদের যোগ করি, যেমন দেখানো হয়েছে। তাই $5+(-10)=5-10=-5$। একইভাবে, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$। আসুন কিছু আরও উদাহরণ নিন।

উদাহরণ 1 : যোগ করুন: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$।

সমাধান: তিনটি অভিব্যক্তিকে পৃথক সারিতে লিখে, একই ধরনের পদ একে অপরের নিচে লিখলে আমাদের প্রাপ্ত হয়

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(Note xz is same as zx)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

উদাহরণ 2 : $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ থেকে $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ বিয়োগ করুন।

সমাধান:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

একটি সংখ্যা বিয়োগ করা তার বিপরীত সংখ্যার যোগ করার সমান। তাই –3 বিয়োগ করা হলে +3 যোগ করার সমান। একইভাবে, $6 y$ বিয়োগ করা হলে $-6 y$ যোগ করার সমান; $-4 y^{2}$ বিয়োগ করা হলে $4 y^{2}$ যোগ করার সমান এবং এমনকি অনেকগুলি পর্যন্ত। দ্বিতীয় সারির প্রতিটি পদের নিচে তৃতীয় সারিতে লেখা চিহ্নগুলি আমাদের জানতে সাহায্য করে যে কোন কাজ করা উচিত।

প্র্যাকটিস 8.1

1. নিম্নলিখিতগুলি যোগ করুন।

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (ক) $12 a-9 a b+5 b-3$ থেকে $4 a-7 a b+3 b+12$ বিয়োগ করুন

(খ) $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ থেকে $3 x y+5 y z-7 z x$ বিয়োগ করুন

(গ) $18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$ থেকে

$4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ বিয়োগ করুন

8.2 বীজগণিত অভিব্যক্তির গুণ: পরিচয়

(i) নিম্নলিখিত ডটগুলির স্থিতিকে দেখুন।

(ii) এখন আপনি কি দুটি বীজগণিত অভিব্যক্তি গুণ করা দরকার এমন অন্য কোন পরিস্থিতি চিন্তা করতে পারেন?

আমিনা দাঁড়ালেন। সে বলে, “আমরা একটি আয়তক্ষেত্রের আয়তন চিন্তা করতে পারি।” আয়তক্ষেত্রের আয়তন $l \times b$, যেখানে $l$ দৈর্ঘ্য এবং $b$ প্রস্থ। যদি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 ইউনিট বাড়ানো হয়, অর্থাৎ $(l+5)$ এবং

প্রস্থ 3 ইউনিট কমানো হয়, অর্থাৎ $(b-3)$ ইউনিট, তবে নতুন আয়তক্ষেত্রের আয়তন $(l+5) \times(b-3)$ হবে।

(iii) আপনি ভলিউম সম্পর্কে চিন্তা করতে পারেন? (একটি আয়তশক্তির আয়তন তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার গুণের দ্বারা প্রদত্ত হয়)।

(iv) সারিতা দাঁড়ালেন এবং তিনি বলেন যে আমরা কিছু কিনার সময় গুণ করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি

$ \text{ কেঁচু প্রতি ডজনের দাম }=₹ p $

এবং স্কুল পিকনিকে কেঁচু প্রয়োজন $=z$ ডজন,

$ \text{ তবে আমাদের প্রদান করতে হবে }=₹ p \times z $

ধরুন, প্রতি ডজনের দাম $₹ 2$ কম ছিল এবং কেঁচুর প্রয়োজন 4 ডজন কম ছিল।

তবে, $\quad$ কেঁচু প্রতি ডজনের দাম $=₹(p-2)$

এবং $\quad$ কেঁচুর প্রয়োজন $=(z-4)$ ডজন,

তাই, আমাদের প্রদান করতে হবে $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

চেষ্টা করুন

আপনি কি দুটি আরও এমন পরিস্থিতি চিন্তা করতে পারেন, যেখানে আমাদের বীজগণিত অভিব্যক্তি গুণ করতে হবে?

[সংকেত: $\bullet$ দ্রুততা এবং সময় চিন্তা করুন;

• মূলধন এবং সরল সুদের হারের উপর প্রদান করা হবে এমন সুদ চিন্তা করুন; ইত্যাদি।]

উপরের সকল উদাহরণে, আমাদের দুটি বা ততোধিক পরিমাণ গুণ করতে হয়েছে। যদি পরিমাণগুলি বীজগণিত অভিব্যক্তি দ্বারা প্রদত্ত হয়, তবে আমাদের তাদের গুণফল জানতে হবে। এর অর্থ হলো আমাদের এই গুণফল পেতে কীভাবে করা হবে তা জানতে হবে। আসুন এটি ক্রমান্বয়ে করি। শুরুতে আমরা দুটি একক পদের গুণ নিয়ে আলোচনা করব।

8.3 একটি একক পদ দ্বারা একটি একক পদ গুণ করা

একটি শব্দভাণ্ডার যা শুধুমাত্র একটি পদ ধারণ করে তা হচ্ছে একক পদ।

8.3.1 দুটি একক পদ গুণ করা

আমরা শুরু করি

এবং একইভাবে, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

এখন, নিম্নলিখিত গুণগুলি দেখুন।

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

কিছু আরও কার্যকর উদাহরণ নিম্নরূপ।

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

আমরা দুটি একক পদের বীজগণিত অংশের বিভিন্ন চরণের ক্ষয় কীভাবে সংগ্রহ করি তা দেখুন। এটি করার সময় আমরা ক্ষয় এবং ক্ষয়ের নিয়মগুলি ব্যবহার করি।

লক্ষ্য করুন $5 \times 4=20$

অর্থাৎ, গুণফলের সংখ্যা $=$ প্রথম একক পদের সংখ্যা $\times$ দ্বিতীয় একক পদের সংখ্যা;

এবং $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

অর্থাৎ, গুণফলের বীজগণিত অংশ $=$ প্রথম একক পদের বীজগণিত অংশ $\times$ দ্বিতীয় একক পদের বীজগণিত অংশ।

8.3.2 তিনটি বা ততোধিক একক পদ গুণ করা

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি দেখুন।

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

এটি স্পষ্ট যে আমরা প্রথম দুটি একক পদ গুণ করি এবং তারপর ফলাফলের একক পদটি তৃতীয় একক পদের সাথে গুণ করি। এই পদ্ধতি যে কোন সংখ্যক একক পদের গুণের জন্য বর্ধিত করা যায়।

চেষ্টা করুন

$4 x \times 5 y \times 7 z$ খুঁজুন

প্রথমে $4 x \times 5 y$ খুঁজুন এবং $7 z$ দ্বারা এটি গুণ করুন; অথবা প্রথমে $5 y \times 7 z$ খুঁজুন এবং $4 x$ দ্বারা এটি গুণ করুন। ফলাফল একই কিনা? আপনি কী লক্ষ্য করেন?

আপনি গুণ করার ক্রম কি গুরুত্বপূর্ণ?

উদাহরণ 3 : দেওয়া দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের সাথে একটি আয়তক্ষেত্রের আয়তনের জন্য টেবিল সম্পূর্ণ করুন।

সমাধান:

দৈর্ঘ্য	প্রস্থ	আয়তন
$3 x$	$5 y$	$3 x \times 5 y=15 x y$
$9 y$	$4 y^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots$.
$4 a b$	$5 b c$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.
$2 l^{2} m$	$3 l m^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.

উদাহরণ 4 : দেওয়া দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার সাথে প্রতিটি আয়তশক্তির ভলিউম খুঁজুন।

	দৈর্ঘ্য	প্রস্থ	উচ্চতা
(i)	$2 a x$	$3 b y$	$5 c z$
(ii)	$m^{2} n$	$n^{2} p$	$p^{2} m$
(iii)	$2 q$	$4 q^{2}$	$8 q^{3}$

সমাধান: ভলিউম $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা

তাই, প্রথমে

(i) ভলিউম $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

প্রথমে: (ii) ভলিউম $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

প্রথমে: (iii) ভলিউম $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

প্র্যাকটিস 8.2

1. নিম্নলিখিত একক পদের জোড় গুণ করুন।

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ হিসাবে নিম্নলিখিত একক পদের জোড় দ্বারা আয়তক্ষেত্রের আয়তন খুঁজুন।

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. গুণফলের টেবিল সম্পূর্ণ করুন।

$\frac{\text{ First monomial } \to}{\text{ Second monomial } \downarrow}$	$2 x$	$-5 y$	$3 x^{2}$	$-4 x y$	$7 x^{2} y$	$-9 x^{2} y^{2}$
$2 x$	$4 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-5 y$	$\cdots$	$\cdots$	$-15 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$3 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-4 x y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$7 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-9 x^{2} y^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

4. দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা হিসাবে নিম্নলিখিত আয়তশক্তির আয়তন পান।

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. গুণ করুন

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 একটি একক পদ দ্বারা একটি বহুপদ গুণ করা

একটি শব্দভাণ্ডার যা দুটি পদ ধারণ করে তা হচ্ছে বাইনোমিয়াল। একটি শব্দভাণ্ডার যা তিনটি পদ ধারণ করে তা হচ্ছে ত্রিপদ। এবং এমনকি অনেকগুলি। সাধারণত, একটি বা ততোধিক পদ ধারণ করা শব্দভাণ্ডার যার সংখ্যা সমস্ত সমান্তরাল কোনো সংখ্যা (চরণের জন্য নেগেটিভ ইন্টিজার হিসাবে ক্ষয়) নয় তা হচ্ছে বহুপদ।

8.4.1 একটি একক পদ দ্বারা একটি বাইনোমিয়াল গুণ করা

আসুন একটি একক পদ $3 x$ দ্বারা একটি বাইনোমিয়াল $5 y+2$ গুণ করি, অর্থাৎ $3 x \times(5 y+2)=$ খুঁজি?

মনে করুন $3 x$ এবং $(5 y+2)$ সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। তাই, বনামধন্যবাদ নিষ্পত্তি আইন ব্যবহার করে,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

আমরা সাধারণত আমাদের গণনায় বনামধন্যবাদ নিষ্পত্তি আইন ব্যবহার করি। উদাহরণস্বরূপ:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

একইভাবে, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

এবং: $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$।

একটি বাইনোমিয়াল $\times$ একক পদের কথা কি? উদাহরণস্বরূপ, $(5 y+2) \times 3 x=$?

আমরা বনামধন্যবাদ আইন ব্যবহার করতে পারি যেমন: $7 \times 3=3 \times 7$; অথবা সাধারণত $a \times b=b \times a$

একইভাবে, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ আগের মতো।

চেষ্টা করুন

গুণ করুন

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 একটি একক পদ দ্বারা একটি ত্রিপদ গুণ করা

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ বিবেচনা করুন। আগের ক্ষেত্রের মতো, আমরা বনামধন্যবাদ নিষ্পত্তি আইন ব্যবহার করি;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ত্রিপদের প্রতিটি পদকে একক পদ দ্বারা গুণ করুন এবং গুণফল যোগ করুন।

লক্ষ্য করুন, বনামধন্যবাদ নিষ্পত্তি আইন ব্যবহার করে, আমরা পদে পদে গুণ করতে পারি।

চেষ্টা করুন

গুণ করুন:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

উদাহরণ 5 : অভিব্যক্তিগুলি সরল করুন এবং নির্দেশিত ভ্যালু নিয়ে তাদের মান নির্ণয় করুন: (i) $x(x-3)+2$ প্রথমে $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ প্রথমে $y=-2$

সমাধান:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ প্রথমে } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

প্রথমে $y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

উদাহরণ 6 : যোগ করুন

(i) $5 m(3-m)$ এবং $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ এবং $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

সমাধান:

(i) প্রথম অভিব্যক্তি $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

এরপর এর সাথে দ্বিতীয় অভিব্যক্তি যোগ করলে, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) প্রথম অভিব্যক্তি $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

দ্বিতীয় অভিব্যক্তি $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

দুটি অভিব্যক্তি যোগ করলে,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

উদাহরণ 7 : $2 p q(p+q)$ থেকে $3 p q(p-q)$ বিয়োগ করুন।

সমাধান: আমাদের $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ এবং

বিয়োগ করলে,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

প্র্যাকটিস 8.3

1. নিম্নলিখিত জোড়ের প্রতিটি অভিব্যক্তি গুণ করুন। (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. টেবিল সম্পূর্ণ করুন।

	প্রথম অভিব্যক্তি	দ্বিতীয় অভিব্যক্তি	গুণফল
(i)	$a$	$b+c+d$	$\ldots$
(ii)	$x+y-5$	$5 x y$	$\ldots$
(iii)	$p$	$6 p^{2}-7 p+5$	$\ldots$
(iv)	$4 p^{2} q^{2}$	$p^{2}-q^{2}$	$\ldots$
(v)	$a+b+c$	$a b c$	$\ldots$

3. গুণ করুন।

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (ক) $3 x(4 x-5)+3$ সরল করুন এবং তার মান নির্ণয় করুন (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$।

(খ) $a(a^{2}+a+1)+5$ সরল করুন এবং তার মান নির্ণয় করুন (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$।

5. (ক) যোগ করুন: $p(p-q), q(q-r)$ এবং $r(r-p)$

(খ) যোগ করুন: $2 x(z-x-y)$ এবং $2 y(z-y-x)$

(গ) বিয়োগ করুন: $4 l(10 n-3 m+2 l)$ থেকে $3 l(l-4 m+5 n)$

(ঘ) বিয়োগ করুন: $4 c(-a+b+c)$ থেকে $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$

8.5 একটি বহুপদ দ্বারা একটি বহুপদ গুণ করা

8.5.1 একটি বাইনোমিয়াল দ্বারা একটি বাইনোমিয়াল গুণ করা

আসুন একটি বাইনোমিয়াল $(2 a+3 b)$ দ্বারা অন্য একটি বাইনোমিয়াল, যেমন $(3 a+4 b)$ গুণ করি। আমরা আগের ক্ষেত্রের মতো ধাপে ধাপে এটি করি, বনামধন্যবাদ নিষ্পত্তি আইন অনুসরণ করে,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{লক্ষ্য করুন, একটি বাইনোমিয়ালের প্রতিটি পদ} \\ \text{অন্য বাইনোমিয়ালের প্রতিটি পদ গুণ করে।} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{Since } ba=ab) \end{aligned} $

যখন আমরা পদে পদে গুণ করি, আমাদের $2 \times 2=4$ পদ থাকতে বাধ্য। কিন্তু এগুলির দুটি একই ধরনের পদ, যা যোগ করা হয়, এবং তাই আমরা 3টি পদ পাই। বহুপদ দ্বারা বহুপদ গুণের সময়, আমাদের যদি কোনো ক্ষেত্রে একই ধরনের পদ থাকে তবে তাদের যোগ করতে হবে।

উদাহরণ 8 : গুণ করুন

(i) $(x-4)$ এবং $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ এবং $(3 x+5 y)$

সমাধান:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (একই ধরনের পদ যোগ করে) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ একই ধরনের পদ যোগ করে }) \end{aligned} $

উদাহরণ 9 : গুণ করুন

(i) $(a+7)$ এবং $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ এবং $(5 a-3 b)$

সমাধান:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

এই গুণে একই ধরনের পদ নেই লক্ষ্য করুন।

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

8.5.2 একটি বাইনোমিয়াল দ্বারা একটি ত্রিপদ গুণ করা

এই গুণে, আমাদের ত্রিপদের তিনটি পদ প্রতিটি বাইনোমিয়ালের দুটি পদ দ্বারা গুণ করতে হবে। আমরা সর্বমোট $3 \times 2=6$ পদ পাব, যা যদি পদে পদে গুণ ফলাফলে একই ধরনের পদ হয় তবে 5 বা তার কম হতে পারে। বিবেচনা করুন

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{বাইনোমিয়াল }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{ত্রিপদ }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (কেন ফলাফলে শুধুমাত্র } 4 \\ & \text{ পদ আছে?) } \end{aligned} $

উদাহরণ 10 : $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$ সরল করুন।

সমাধান: আমাদের আছে

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(লক্ষ্য করুন, $-3 a b$ এবং $2 a b$ একই ধরনের পদ)

এবং $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

তাই,

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+(b c+3 b c)+(a c-2 a c) \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

প্র্যাকটিস 8.4

1. বাইনোমিয়ালগুলি গুণ করুন।

(i) $(2 x+5)$ এবং $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ এবং $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ এবং $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ এবং $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ এবং $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ এবং $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

2. গুণ করুন।

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

3. সরল করুন।

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$ (viii) $(a+b+c)(a+b-c)$

আমরা কী আলোচনা করেছি??

1. অভিব্যক্তি চরণ এবং ধ্রুবক দ্বারা গঠিত।

2. পদগুলি যোগ করে অভিব্যক্তি গঠন করা হয়। পদগুলি নিজেগুলি ক্রমের গুণের দ্বারা গঠিত।

3. শুধুমাত্র এক, দুটি এবং তিনটি পদ ধারণ করা অভিব্যক্তিগুলি হচ্ছে একক পদ, বাইনোমিয়াল এবং ত্রিপদ যথাক্রমে। সাধারণত, একটি বা ততোধিক পদ ধারণ করা যে কোনো অভিব্যক্তি যার সংখ্যা সমস্ত সমান্তরাল কোনো সংখ্যা (চরণের জন্য নেগেটিভ ইন্টিজার হিসাবে ক্ষয়) নয় তা হচ্ছে বহুপদ।

4. একই ধরনের পদগুলি একই চরণ দ্বারা গঠিত এবং এই চরণগুলির ক্ষয় একই হয়। একই ধরনের পদগুলির সংখ্যা একই হতে হবে না।

5. বহুপদ যোগ (বা বিয়োগ) করার সময়, প্রথমে একই ধরনের পদ খুঁজুন এবং তাদের যোগ (বা বিয়োগ) করুন; এরপর অনধিক ধরনের পদ নিয়ন্ত্রণ করুন।

6. বীজগণিত অভিব্যক্তি গুণ করার জন্য অনেক পরিস্থিতি রয়েছে: উদাহরণস্বরূপ, একটি আয়তক্ষেত্রের আয়তন নির্ণয়ে, যার পক্ষগুলি অভিব্যক্তি দ্বারা প্রদত্ত হয়।

7. একটি একক পদ দ্বারা একটি একক পদ গুণ করলে সর্বদা একটি একক পদ পাওয়া যায়।

8. বহুপদ দ্বারা একক পদ গুণ করার সময়, আমরা বহুপদের প্রতিটি পদকে একক পদ দ্বারা গুণ করি।

9. বহুপদ দ্বারা একটি বাইনোমিয়াল (বা ত্রিপদ) গুণ করার সময়, আমরা পদে পদে গুণ করি, অর্থাৎ বহুপদে