8.1 ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣੂ ਹੋ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵ (ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਭਾਵ) ਕੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ ਆਦਿ। } $

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖ ਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $7 x^{2}-4 x+5$ ਅਤੇ $9 x-10$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਭਾਵ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਲੱਗ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $5+(-10)=5-10=-5$। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$। ਆਓ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਜੋੜੋ: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$।

ਹੱਲ: ਤਿੰਨਾਂ ਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਕਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(ਧਿਆਨ ਦਿਓ xz, zx ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

ਉਦਾਹਰਨ 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ ਨੂੰ $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।

ਹੱਲ:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ ਉਸਦੇ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਉਲਟ (ਐਡੀਟਿਵ ਇਨਵਰਸ) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ -3 ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ +3 ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $6 y$ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ $-6 y$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ; $-4 y^{2}$ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ $4 y^{2}$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਦੀਆਂ ਨਿਸ਼ਾਨੀਆਂ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕਾਰਜ ਕਰਨਾ ਹੈ।

ਅਭਿਆਸ 8.1

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ ਨੂੰ $12 a-9 a b+5 b-3$ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ ਨੂੰ $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ ਨੂੰ ਘਟਾਓ

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$ ਤੋਂ

8.2 ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ: ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

(i) ਬਿੰਦੀਆਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਵੱਲ ਦੇਖੋ।

(ii) ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇ?

ਅਮੀਨਾ ਉੱਠਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ, “ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।” ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $l \times b$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $l$ ਲੰਬਾਈ ਹੈ, ਅਤੇ $b$ ਚੌੜਾਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਵਧਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇ, ਯਾਨੀ $(l+5)$ ਅਤੇ

(iii) ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਘਣਫਲ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ? (ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਡੱਬੇ ਦਾ ਘਣਫਲ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)।

(iv) ਸਰੀਤਾ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਖਰੀਦਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ

$ \text{ ਕੇਲਿਆਂ ਦੀ ਕੀਮਤ ਪ੍ਰਤੀ ਦਰਜਨ }=₹ p $

ਅਤੇ ਸਕੂਲ ਪਿਕਨਿਕ ਲਈ ਕੇਲਿਆਂ ਦੀ ਲੋੜ $=z$ ਦਰਜਨ,

$ \text{ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ }=₹ p \times z $

ਮੰਨ ਲਓ, ਪ੍ਰਤੀ ਦਰਜਨ ਕੀਮਤ $₹ 2$ ਘੱਟ ਸੀ ਅਤੇ ਕੇਲਿਆਂ ਦੀ ਲੋੜ 4 ਦਰਜਨ ਘੱਟ ਸੀ।

ਤਾਂ, $\quad$ ਕੇਲਿਆਂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਦਰਜਨ ਕੀਮਤ $=₹(p-2)$

ਅਤੇ $\quad$ ਕੇਲਿਆਂ ਦੀ ਲੋੜ $=(z-4)$ ਦਰਜਨ,

ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਹੋਰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਿੱਥੇ ਸਾਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇ?

[ਸੰਕੇਤ: $\bullet$ ਗਤੀ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ;

• ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ, ਮੁੱਖ ਰਕਮ ਅਤੇ ਵਿਆਜ ਦੀ ਦਰ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ; ਆਦਿ।]

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪਿਆ। ਜੇਕਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਭਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇਹ ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕਰੀਏ। ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੋ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ (ਮੋਨੋਮੀਅਲਜ਼) ਦੇ ਗੁਣਾ ‘ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ।

8.3 ਇੱਕ ਇਕ-ਪਦੀ (ਮੋਨੋਮੀਅਲ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਉਹ ਭਾਵ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇਕ-ਪਦੀ (ਮੋਨੋਮੀਅਲ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

8.3.1 ਦੋ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

ਹੁਣ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗੀ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਲਾਂ (ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼) ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $5 \times 4=20$

ਯਾਨੀ, ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ $=$ ਪਹਿਲੀ ਇਕ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ $\times$ ਦੂਜੀ ਇਕ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ;

ਅਤੇ $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

ਯਾਨੀ, ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ $=$ ਪਹਿਲੀ ਇਕ-ਪਦੀ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ $\times$ ਦੂਜੀ ਇਕ-ਪਦੀ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ।

8.3.2 ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਈ ਇਕ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਤੀਜੀ ਇਕ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

$4 x \times 5 y \times 7 z$ ਪਤਾ ਕਰੋ

ਪਹਿਲਾਂ $4 x \times 5 y$ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $7 z$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ; ਜਾਂ ਪਹਿਲਾਂ $5 y \times 7 z$ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $4 x$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ?

ਕੀ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ?

ਉਦਾਹਰਨ 3 : ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਵਾਲੀ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਸਾਰਣੀ ਪੂਰੀ ਕਰੋ।

ਹੱਲ:

ਉਦਾਹਰਨ 4 : ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਡੱਬੇ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ: ਘਣਫਲ $=$ ਲੰਬਾਈ $\times$ ਚੌੜਾਈ $\times$ ਉਚਾਈ

ਇਸ ਲਈ,

(i) ਘਣਫਲ $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

(ii) ਲਈ: ਘਣਫਲ $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

(iii) ਲਈ: ਘਣਫਲ $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

ਅਭਿਆਸ 8.2

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜੋੜੀਆਂ ਦੇ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜੋੜੀਆਂ ਦੇ ਇਕ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਆਇਤਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਪੂਰੀ ਕਰੋ।

4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਡੱਬਿਆਂ ਦਾ ਘਣਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਿਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ਇੱਕ ਇਕ-ਪਦੀ (ਮੋਨੋਮੀਅਲ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ (ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਉਹ ਭਾਵ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਸਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ (ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਭਾਵ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ (ਟ੍ਰਾਈਨੋਮੀਅਲ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਦਾਂ ਵਾਲਾ ਭਾਵ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ (ਜਿਸਦੇ ਚਲਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ) ਨੂੰ ਬਹੁਪਦੀ (ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

8.4.1 ਇੱਕ ਇਕ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਆਓ ਅਸੀਂ ਇਕ-ਪਦੀ $3 x$ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ $5 y+2$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੀਏ, ਯਾਨੀ $3 x \times(5 y+2)=$ ਪਤਾ ਕਰੀਏ?

ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ $3 x$ ਅਤੇ $(5 y+2)$ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਵੰਡਣਸ਼ੀਲ ਨਿਯਮ (ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਲਾਅ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਆਪਣੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਸ਼ੀਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

ਅਤੇ: $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

ਦੋ-ਪਦੀ $\times$ ਇਕ-ਪਦੀ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਿਯਮ (ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਲਾਅ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: $7 \times 3=3 \times 7$; ਜਾਂ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ $a \times b=b \times a$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ਇੱਕ ਇਕ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲੇ ਕੇਸ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਵੰਡਣਸ਼ੀਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਇਕ-ਪਦੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਜੋੜੋ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਵੰਡਣਸ਼ੀਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

ਉਦਾਹਰਨ 5 : ਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: (i) $x(x-3)+2$ ਲਈ $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ ਲਈ $y=-2$

ਹੱਲ:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ ਲਈ } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ ਲਈ

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਨ 6 : ਜੋੜੋ

(i) $5 m(3-m)$ ਅਤੇ $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ ਅਤੇ $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

ਹੱਲ:

(i) ਪਹਿਲਾ ਭਾਵ $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

ਹੁਣ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੂਜਾ ਭਾਵ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) ਪਹਿਲਾ ਭਾਵ $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

ਦੂਜਾ ਭਾਵ $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

ਦੋਵੇਂ ਭਾਵ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

ਉਦਾਹਰਨ 7 : $3 p q(p-q)$ ਨੂੰ $2 p q(p+q)$ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।

ਹੱਲ: ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ ਅਤੇ

ਘਟਾਉਂਦੇ ਹੋਏ,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

ਅਭਿਆਸ 8.3

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜੋੜੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਭਾਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. ਸਾਰਣੀ ਪੂਰੀ ਕਰੋ।

3. ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ ਨੂੰ