பாடம் 08 இயற்கையான வெளிப்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகள்

8.1 இயற்கையான வெளிப்பாடுகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

முன்னர் வகுப்புகளில், என்ன இயற்கையான வெளிப்பாடுகள் (அல்லது எளிய வெளிப்பாடுகள்) என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிந்துகொண்டோம். வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ etc. } $

முன்னர் வகுப்புகளில், இயற்கையான வெளிப்பாடுகளை எ如ப்பது எப்படி செய்வது என்பதையும் நாம் கற்றுக்கொண்டோம். எடுத்துக்காட்டாக, $7 x^{2}-4 x+5$ மற்றும் $9 x-10$ ஐ கூட்ட, நாம் செய்யும்

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

கூட்டலை எவ்வாறு செய்வது என்பதை பார்க்கவும். நாம் கூட்டப்பட வேண்டிய ஒவ்வொரு வெளிப்பாடுகளையும் ஒரு தனி வரிசையில் எழுதுகிறோம். அதைச் செய்யும்போது, ஒவ்வொரு ஒற்றைக்கும் அடிப்படையில் ஒன்றுக்கொன்று எழுதுகிறோம், மேலும் அவற்றைக் கூட்டுகிறோம், அதைக் காட்டுகிறது. எனவே $5+(-10)=5-10=-5$. இப்படியாக, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. நாம் சில மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : கூட்டு: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

தீர்வு: மூன்று வெளிப்பாடுகளை ஒவ்வொரு தனி வரிசைகளில் எழுதுவதை விட்டு, ஒற்றைக்கும் அடிப்படையில் ஒன்றுக்கொன்று எழுதுவதைக் கொண்டோம்

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(Note xz is same as zx)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

எடுத்துக்காட்டு 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ இலிருந்து $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ ஐ கழிக்கவும்.

தீர்வு:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ஒரு எண்ணை கழிப்பது அதன் எதிர்மறை எண்ணை கூட்டுவதுபோல் இருக்கும் என்பதை கவனியுங்கள். எனவே, -3 ஐ கழிப்பது +3 ஐ கூட்டுவதுபோல் இருக்கும். இப்படியாக, $6 y$ ஐ கழிப்பது $-6 y$ ஐ கூட்டுவதுபோல் இருக்கும்; $-4 y^{2}$ ஐ கழிப்பது $4 y^{2}$ ஐ கூட்டுவதுபோல் இருக்கும் மற்றும் போன்றவை. இரண்டாவது வரிசையில் ஒவ்வொரு உருப்படியிலும் அமைக்கப்பட்ட மூன்றாவது வரிசையில் உள்ள சின்னங்கள் எந்த செயல்பாட்டைச் செய்ய வேண்டும் என்பதை நமக்குத் தெரியப்படுத்துகின்றன.

பாடம் 8.1

1. பின்வருமாறு கூட்டுங்கள்.

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ இலிருந்து $12 a-9 a b+5 b-3$ ஐ கழிக்கவும்

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ இலிருந்து $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ ஐ கழிக்கவும்

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$ ஐ கழிக்கவும்

8.2 இயற்கையான வெளிப்பாடுகளின் பெருக்கல்: அறிமுகம்

(i) பின்வருமாறு புள்ளிகளின் மாதிரிகளைப் பார்க்கவும்.

(ii) இயற்கையான வெளிப்பாடுகள் இரண்டையும் பெருக்க வேண்டிய இன்னொரு போன்ற சூழ்நிலைகளை இப்போது நீங்கள் எண்ண முடியுமா?

அமீனா எழுந்துகொண்டாள். அவள் சொல்லிக்கொண்டாள், “நாம் ஆய்த சதுரத்தின் பரப்பளவைப் பற்றி எண்ணலாம்.” ஆய்த சதுரத்தின் பரப்பளவு $l \times b$, அங்கு $l$ நீளம், $b$ அகலம். ஆய்த சதுரத்தின் நீளம் 5 அலகுகள் அதிகரித்தால், அதாவது $(l+5)$ மற்றும்

அகலம் 3 அலகுகள் குறைந்தால், அதாவது $(b-3)$ அலகுகள், புதிய ஆய்த சதுரத்தின் பரப்பளவு $(l+5) \times(b-3)$ ஆகும்.

(iii) உயரத்தைப் பற்றி நீங்கள் எண்ண முடியுமா? (ஆய்த பெட்டியின் உயரம் அதன் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தின் பெருக்கலால் அளவிடப்படுகிறது).

(iv) சரிதா குறிப்பிடுகிறார் என்னவென்றால், நாம் பொருட்களை வாங்கும்போது, நாம் பெருக்கலை செய்ய வேண்டியிருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,

$ \text{ தினமும் வாங்கும் திராட்சையின் விலை }=₹ p $

மற்றும் பள்ளி பெரும் விருந்தில் திராட்சையின் தேவைகள் $=z$ தினமும்,

$ \text{ நாம் செலவிட வேண்டியது }=₹ p \times z $

எனில், தினமும் விலை $₹ 2$ குறைவாக இருந்தால் மற்றும் திராட்சையின் தேவைகள் 4 தினமும் குறைவாக இருந்தால்.

அப்போது, $\quad$ தினமும் விலை $=₹(p-2)$

மற்றும் $\quad$ தேவைகள் $=(z-4)$ தினமும்,

எனவே, நாம் செலவிட வேண்டியது $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

முயற்சிக்கவும்

இயற்கையான வெளிப்பாடுகளை பெருக்க வேண்டிய இரண்டு மேலும் போன்ற சூழ்நிலைகளை நீங்கள் எண்ண முடியுமா?

[குறிப்பு: $\bullet$ வேகம் மற்றும் நேரத்தை எண்ணுங்கள்;

முதலாளித்துவத்திற்காக செலவிட வேண்டிய வட்டி முதல் மற்றும் எளிய வட்டி விகிதத்தை எண்ணுங்கள்; போன்றவை.]

மேலேயுள்ள எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், நாம் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுகளை பெருக்க வேண்டியிருந்தது. அந்த அளவுகள் இயற்கையான வெளிப்பாடுகளால் அளவிடப்பட்டிருந்தால், அவற்றின் பெருக்கலை நாம் காண வேண்டும். இதை நாம் வரிசைப்படி செய்ய வேண்டும். ஆரம்பத்தில், நாம் இரண்டு ஒற்றைக்கும் பெருக்கலைப் பார்ப்போம்.

8.3 ஒற்றைக்கும் ஒற்றைக்கும் பெருக்கல்

ஒரு உருப்படியை மட்டும் கொண்ட வெளிப்பாடு ஒற்றைக்கும் எனப்படும்.

8.3.1 இரண்டு ஒற்றைக்கும் பெருக்கல்

நாம் இதை ஆரம்பிக்கும்

இப்படியாக, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

இப்போது, பின்வருமாறு பெருக்கல்களைப் பார்க்கவும்.

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

சில மேலும் பயனுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு.

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

இரு ஒற்றைக்கும் இயற்கையான பகுதிகளின் வேறுபாட்டு அடிப்படைகளை நாம் எவ்வாறு சேகரிக்கிறோம் என்பதை பார்க்கவும். அதைச் செய்யும்போது, நாம் அடிகள் மற்றும் அடிகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

குறிப்பு என்னவென்றால், $5 \times 4=20$

அதாவது பெருக்கலின் அடிப்படை $=$ முதல் ஒற்றைக்குமின் அடிப்படை $\times$ இரண்டாவது ஒற்றைக்குமின் அடிப்படை;

மற்றும் $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

அதாவது பெருக்கலின் இயற்கையான அடிப்படை $=$ முதல் ஒற்றைக்குமின் இயற்கையான அடிப்படை $\times$ இரண்டாவது ஒற்றைக்குமின் இயற்கையான அடிப்படை.

8.3.2 மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஒற்றைக்கும் பெருக்கல்

பின்வருமாறு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்.

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

தெளிவாக இருக்கிறது என்னவென்றால், நாம் முதலில் முதல் இரண்டு ஒற்றைக்கும்களை பெருக்கிவிட்டு, பெருக்கப்பட்ட ஒற்றைக்குமை மூன்றாவது ஒற்றைக்குமுடன் பெருக்குகிறோம். இந்த முறை எந்த எண்ணிக்கையிலான ஒற்றைக்கும் பெருக்கலுக்கும் விரிவாக்கப்படலாம்.

முயற்சிக்கவும்

$4 x \times 5 y \times 7 z$ ஐ காண்க

முதலில் $4 x \times 5 y$ ஐ காண்க மற்றும் $7 z$ உடன் அதை பெருக்குங்கள்; அல்லது முதலில் $5 y \times 7 z$ ஐ காண்க மற்றும் $4 x$ உடன் அதை பெருக்குங்கள். முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறதா? நீங்கள் என்ன கவனித்தீங்கள்?

நீங்கள் பெருக்கலை எவ்வளவு வரிசையில் செய்வது பற்றி முக்கியமா?

எடுத்துக்காட்டு 3 : ஒரு ஆய்த சதுரத்தின் பரப்பளவை கொடுக்கப்பட்ட நீளம் மற்றும் அகலத்துடன் பூர்த்திசெய்யுங்கள்.

தீர்வு:

நீளம்	அகலம்	பரப்பளவு
$3 x$	$5 y$	$3 x \times 5 y=15 x y$
$9 y$	$4 y^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots$.
$4 a b$	$5 b c$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.
$2 l^{2} m$	$3 l m^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.

எடுத்துக்காட்டு 4 : கொடுக்கப்பட்ட நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்துடன் ஒவ்வொரு ஆய்த பெட்டிக்கும் உயரத்தைக் காண்க.

	நீளம்	அகலம்	உயரம்
(i)	$2 a x$	$3 b y$	$5 c z$
(ii)	$m^{2} n$	$n^{2} p$	$p^{2} m$
(iii)	$2 q$	$4 q^{2}$	$8 q^{3}$

தீர்வு: உயரம் $=$ நீளம் $\times$ அகலம் $\times$ உயரம்

எனவே, இணையாக,

(i) உயரம் $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

இணையாக: (ii) உயரம் $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

இணையாக: (iii) உயரம் $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

பாடம் 8.2

1. பின்வருமாறு ஒற்றைக்கும் இரு அளவுகளின் பெருக்கலைக் காண்க.

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. பின்வருமாறு நீளம் மற்றும் அகலம் ஆகியவற்றால் அலகிடப்பட்ட ஆய்த சதுரங்களின் பரப்பளவைக் காண்க.

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. பெருக்கல்களின் அட்டவணையை பூர்த்திசெய்யுங்கள்.

$\frac{\text{ First monomial } \to}{\text{ Second monomial } \downarrow}$	$2 x$	$-5 y$	$3 x^{2}$	$-4 x y$	$7 x^{2} y$	$-9 x^{2} y^{2}$
$2 x$	$4 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-5 y$	$\cdots$	$\cdots$	$-15 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$3 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-4 x y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$7 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-9 x^{2} y^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

4. பின்வருமாறு நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்துடன் அலகிடப்பட்ட ஆய்த பெட்டிகளின் உயரத்தைப் பெறுங்கள்.

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. பெருக்கலைப் பெறுங்கள்

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ஒற்றைக்கும் இயற்கையான வெளிப்பாடுகளுக்கு பெருக்கல்

இரண்டு உருப்படிகளை கொண்ட வெளிப்பாடு இரண்டு உருப்படிகள் எனப்படும். மூன்று உருப்படிகளை கொண்ட வெளிப்பாடு மூன்று உருப்ப