ಅಧ್ಯಾಯ 08 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸರ್ವಸಮೀಕರಣಗಳು

8.1 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಕೊಡುಗೆಗಳು) ಏನೆಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಕೊಡುಗೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ ಇತ್ಯಾದಿ. } $

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $7 x^{2}-4 x+5$ ಮತ್ತು $9 x-10$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನಾವು ಹೀಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

ನಾವು ಸಂಕಲನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಹೀಗಾಗಿ $5+(-10)=5-10=-5$. ಅದೇ ರೀತಿ, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಸೇರಿಸಿ: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

ಪರಿಹಾರ: ಮೂರು ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು, ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಇರಿಸುವುದು, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಇವೆ

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(ಗಮನಿಸಿ xz ಎಂಬುದು zx ನಂತೆಯೇ)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

ಉದಾಹರಣೆ 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ ನಿಂದ $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಕಲನವು ಅದರ ಸಂಕಲನ ವಿಲೋಮದ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ -3 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು +3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆಯೇ. ಅದೇ ರೀತಿ, $6 y$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು $-6 y$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆಯೇ; $-4 y^{2}$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು $4 y^{2}$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆಯೇ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಲಾದ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಯಾವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 8.1

1. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ ನಿಂದ $12 a-9 a b+5 b-3$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ ನಿಂದ $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

8.2 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ: ಪರಿಚಯ

(i) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.

(ii) ಈಗ ನೀವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದೇ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ?

ಅಮೀನ ಎದ್ದು ನಿಂತಳು. ಅವಳು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ, “ನಾವು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದು.” ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $l \times b$ ಆಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $l$ ಎಂಬುದು ಉದ್ದ, ಮತ್ತು $b$ ಎಂಬುದು ಅಗಲ. ಆಯತದ ಉದ್ದವನ್ನು 5 ಏಕಮಾನಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, $(l+5)$ ಮತ್ತು

ಅಗಲವನ್ನು 3 ಏಕಮಾನಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಅಂದರೆ, $(b-3)$ ಏಕಮಾನಗಳು, ಹೊಸ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $(l+5) \times(b-3)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(iii) ನೀವು ಘನಫಲದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದೇ? (ಆಯತಾಕಾರದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಘನಫಲವನ್ನು ಅದರ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ).

(iv) ನಾವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸರಿತಾ ತೋರಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ

$ \text{ ದಾಸ್ತಾನು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳ ಬೆಲೆ }=₹ p $

ಮತ್ತು ಶಾಲಾ ಪಿಕ್ನಿಕ್ಗೆ ಬೇಕಾದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು $=z$ ದಾಸ್ತಾನುಗಳು,

$ \text{ ಆಗ ನಾವು ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದದ್ದು }=₹ p \times z $

ಒಂದು ವೇಳೆ, ದಾಸ್ತಾನು ಬೆಲೆಯು $₹ 2$ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬೇಕಾದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು 4 ದಾಸ್ತಾನುಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದ್ದರೆ.

ಆಗ, $\quad$ ದಾಸ್ತಾನು ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳ ಬೆಲೆ $=₹(p-2)$

ಮತ್ತು $\quad$ ಬೇಕಾದ ಬಾಳೆಹಣ್ಣುಗಳು $=(z-4)$ ದಾಸ್ತಾನುಗಳು,

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪಾವತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ನೀವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದೇ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಬಹುದು?

[ಸೂಚನೆ: $\bullet$ ವೇಗ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ;

ಪಾವತಿಸಬೇಕಾದ ಬಡ್ಡಿ, ಮುಖ್ಯ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸರಳ ಬಡ್ಡಿಯ ದರದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ; ಇತ್ಯಾದಿ.]

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಈ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ. ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾವು ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

8.3 ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ಕೇವಲ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಏಕಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

8.3.1 ಎರಡು ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ನಾವು ಇದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅದೇ ರೀತಿ, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

ಈಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಮನಿಸಿ $5 \times 4=20$

ಅಂದರೆ, ಗುಣಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕ $=$ ಮೊದಲ ಏಕಪದದ ಸಹಗುಣಕ $\times$ ಎರಡನೇ ಏಕಪದದ ಸಹಗುಣಕ;

ಮತ್ತು $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

ಅಂದರೆ, ಗುಣಲಬ್ಧದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನ $=$ ಮೊದಲ ಏಕಪದದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನ $\times$ ಎರಡನೇ ಏಕಪದದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನ.

8.3.2 ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

ನಾವು ಮೊದಲು ಮೊದಲ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಏಕಪದವನ್ನು ಮೂರನೇ ಏಕಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

$4 x \times 5 y \times 7 z$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಮೊದಲು $4 x \times 5 y$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $7 z$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ; ಅಥವಾ ಮೊದಲು $5 y \times 7 z$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು $4 x$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿದೆಯೇ? ನೀವು ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ?

ನೀವು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವೇ?

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ನೀಡಲಾದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲದೊಂದಿಗೆ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಉದ್ದ	ಅಗಲ	ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
$3 x$	$5 y$	$3 x \times 5 y=15 x y$
$9 y$	$4 y^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots$.
$4 a b$	$5 b c$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.
$2 l^{2} m$	$3 l m^{2}$	$\ldots \ldots \ldots \ldots .$.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ನೀಡಲಾದ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

	ಉದ್ದ	ಅಗಲ	ಎತ್ತರ
(i)	$2 a x$	$3 b y$	$5 c z$
(ii)	$m^{2} n$	$n^{2} p$	$p^{2} m$
(iii)	$2 q$	$4 q^{2}$	$8 q^{3}$

ಪರಿಹಾರ: ಘನಫಲ $=$ ಉದ್ದ $\times$ ಅಗಲ $\times$ ಎತ್ತರ

ಆದ್ದರಿಂದ,

(i) ಘನಫಲ $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

ಗಾಗಿ: (ii) ಘನಫಲ $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

ಗಾಗಿ: (iii) ಘನಫಲ $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

ಅಭ್ಯಾಸ 8.2

1. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

$\frac{\text{ First monomial } \to}{\text{ Second monomial } \downarrow}$	$2 x$	$-5 y$	$3 x^{2}$	$-4 x y$	$7 x^{2} y$	$-9 x^{2} y^{2}$
$2 x$	$4 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-5 y$	$\cdots$	$\cdots$	$-15 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$3 x^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-4 x y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$7 x^{2} y$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$-9 x^{2} y^{2}$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

4. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಘನಫಲವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ಏಕಪದವನ್ನು ಬಹುಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊಡುಗೆಯು ತ್ರಿಪದ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯೇತರ ಸಹಗುಣಕಗಳೊಂದಿಗೆ (ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

8.4.1 ಏಕಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ನಾವು ಏಕಪದ $3 x$ ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದ $5 y+2$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, $3 x \times(5 y+2)=$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದೇ?

$3 x$ ಮತ್ತು $(5 y+2)$ ಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

ಅದೇ ರೀತಿ, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

ಮತ್ತು: $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

ದ್ವಿಪದ $\times$ ಏಕಪದದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

ನಾವು ಪರಿವರ್ತಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: $7 \times 3=3 \times 7$; ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $a \times b=b \times a$

ಅದೇ ರೀತಿ, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ ಹಿಂದಿನಂತೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ಏಕಪದವನ್ನು ತ್ರಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹಿಂದಿನ ಸಂದರ್ಭದಂತೆ, ನಾವು ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ತ್ರಿಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

ಗಮನಿಸಿ, ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಮರ್ಥರಾಗಿದ್ದೇವೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇವುಗಳನ್ನು

ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: (i) $x(x-3)+2$ ಗಾಗಿ $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ ಗಾಗಿ $y=-2$

ಪರಿಹಾರ:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ ಗಾಗಿ } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

ಗಾಗಿ $y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಸೇರಿಸಿ

(i) $5 m(3-m)$ ಮತ್ತು $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ ಮತ್ತು $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

ಪರಿಹಾರ:

(i) ಮೊದಲ ಕೊಡುಗೆ $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

ಈಗ ಎರಡನೇ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದು, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) ಮೊದಲ ಕೊಡುಗೆ $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

ಎರಡನೇ ಕೊಡುಗೆ $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

ಎರಡು ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

ಉದಾಹರಣೆ 7 : $3 p q(p-q)$ ನಿಂದ $2 p q(p+q)$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಮ್ಮಲ್ಲಿ $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ ಮತ್ತು

ಕಳೆಯುವುದು,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

ಅಭ್ಯಾಸ 8.3

1. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿನ ಕೊಡುಗೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

	ಮೊದಲ ಕೊಡುಗೆ	ಎರಡನೇ ಕೊಡುಗೆ	ಗುಣಲಬ್ಧ
(i)	$a$	$b+c+d$	$\ldots$
(ii)	$x+y-5$	$5 x y$	$\ldots$
(iii)	$p$	$6 p^{2}-7 p+5$	$\ldots$
(iv)	$4 p^{2} q^{2}$	$p^{2}-q^{2}$	$\ldots$
(v)	$a+b+c$	$a b c$	$\ldots$

3. ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ ಗಾಗಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು (i) $a=0$, (ii) $a=1$ ಗಾಗಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

(iii) $a=-1$.

5. (a) ಸೇರಿಸಿ: $p(p-q), q(q-r)$ ಮತ್ತು $r(r-p)$

(b) ಸೇರಿಸಿ: $2 x(z-x-y)$ ಮತ್ತು $2 y(z-y-x)$

(d) ಕಳೆಯಿರಿ: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ ನಿಂದ $4 c(-a+b+c)$

8.5 ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

8.5.1 ದ್ವಿಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ನಾವು ಒಂದು ದ್ವಿಪದ $(2 a+3 b)$ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ದ್ವಿಪದದಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $(3 a+4 b)$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಹಿಂದಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ಗಮನಿಸಿ, ಒಂದು ದ್ವಿಪದದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ} \\ \text{ಪದವು ಇನ್ನೊಂದು ದ್ವಿಪದದಲ್ಲಿನ} \\ \text{ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ.} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{ಯಾಕೆಂದರೆ } ba=ab) \end{aligned} $

ನಾವು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, $2 \times 2=4$ ಪದಗಳು ಇರುವುದನ್ನು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಮಾನ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 3 ಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು, ಇದ್ದರೆ, ಹುಡುಕಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 8 : ಗುಣಿಸಿ

(i) $(x-4)$ ಮತ್ತು $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ ಮತ್ತು $(3 x+5 y)$

ಪರಿಹಾರ:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು }) \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 9 : ಗುಣಿಸಿ

(i) $(a+7)$ ಮತ್ತು $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ ಮತ್ತು $(5 a-3 b)$

ಪರಿಹಾರ:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $