8.1 બીજગણિતીય પદાવલિઓનો સરવાળો અને બાદબાકી

અગાઉની ધોરણોમાં, આપણે બીજગણિતીય પદાવલિઓ (અથવા ફક્ત પદાવલિઓ) શું છે તેની સાથે પહેલેથી જ પરિચિત થઈ ગયા છીએ. પદાવલિઓના ઉદાહરણો છે:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ વગેરે. } $

અગાઉની ધોરણોમાં, આપણે બીજગણિતીય પદાવલિઓનો સરવાળો અને બાદબાકી કેવી રીતે કરવી તે પણ શીખ્યા છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, $7 x^{2}-4 x+5$ અને $9 x-10$ ઉમેરવા માટે, આપણે આ રીતે કરીએ છીએ:

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

આપણે સરવાળો કેવી રીતે કરીએ છીએ તે જુઓ. આપણે ઉમેરવા માટેની દરેક પદાવલિને અલગ પંક્તિમાં લખીએ છીએ. આમ કરતી વખતે આપણે સમાન પદોને એકબીજાની નીચે લખીએ છીએ અને તેમને ઉમેરીએ છીએ, જેમ કે બતાવ્યા પ્રમાણે. આમ $5+(-10)=5-10=-5$. તે જ રીતે, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. ચાલો કેટલાક વધુ ઉદાહરણો લઈએ.

ઉદાહરણ 1 : ઉમેરો: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

ઉકેલ: ત્રણેય પદાવલિઓને અલગ-અલગ પંક્તિઓમાં લખતા, સમાન પદોને એકબીજાની નીચે મૂકતા, આપણી પાસે છે:

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(નોંધ: xz એ zx જ છે)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

ઉદાહરણ 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ માંથી $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ બાદ કરો.

ઉકેલ:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

નોંધ લો કે સંખ્યાની બાદબાકી એ તેના યોગ્ય વિરોધી સંખ્યાનો સરવાળો કરવા જેટલી જ છે. આમ, -3 બાદ કરવું એ +3 ઉમેરવા બરાબર છે. તે જ રીતે, $6 y$ બાદ કરવું એ $-6 y$ ઉમેરવા બરાબર છે; $-4 y^{2}$ બાદ કરવું એ $4 y^{2}$ ઉમેરવા બરાબર છે અને આમ જ. બીજી પંક્તિમાં દરેક પદની નીચે લખેલ ત્રીજી પંક્તિના ચિહ્નો આપણને એ સમજવામાં મદદ કરે છે કે કઈ ક્રિયા કરવાની છે.

કસરત 8.1

1. નીચેનાનો સરવાળો કરો.

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ માંથી $12 a-9 a b+5 b-3$ બાદ કરો.

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ માંથી $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ બાદ કરો.

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ માંથી બાદ કરો:

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

8.2 બીજગણિતીય પદાવલિઓનો ગુણાકાર: પરિચય

(i) બિંદુઓના નીચેના નમૂનાઓ જુઓ.

(ii) શું તમે હવે એવી અન્ય સમાન પરિસ્થિતિઓ વિશે વિચારી શકો છો જેમાં બે બીજગણિતીય પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરવો પડે?

અમીના ઊભી થાય છે. તે કહે છે, “આપણે લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ વિશે વિચારી શકીએ.” લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $l \times b$ છે, જ્યાં $l$ લંબાઈ છે અને $b$ પહોળાઈ છે. જો લંબચોરસની લંબાઈ 5 એકમ વધારવામાં આવે, એટલે કે $(l+5)$ અને

(iii) શું તમે ઘનફળ વિશે વિચારી શકો છો? (લંબચોરસ બોક્સનું ઘનફળ તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈના ગુણાકારથી મળે છે).

(iv) સરિતા નોંધે છે કે જ્યારે આપણે વસ્તુઓ ખરીદીએ છીએ, ત્યારે આપણે ગુણાકાર કરવો પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો

$ \text{ દર ડઝને કેળાની કિંમત }=₹ p $

અને શાળાની પિકનિક માટે જરૂરી કેળા $=z$ ડઝન,

$ \text{ તો આપણે ચૂકવણી કરવી પડે }=₹ p \times z $

ધારો કે, દર ડઝન કિંમત $₹ 2$ ઓછી હતી અને જરૂરી કેળા 4 ડઝન ઓછા હતા.

તો, $\quad$ દર ડઝન કેળાની કિંમત $=₹(p-2)$

અને $\quad$ જરૂરી કેળા $=(z-4)$ ડઝન,

તેથી, આપણે $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ ચૂકવવા પડે.

પ્રયાસ કરો

શું તમે બે વધુ એવી પરિસ્થિતિઓ વિશે વિચારી શકો છો, જ્યાં આપણે બીજગણિતીય પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર પડી શકે?

[સંકેત: $\bullet$ ઝડપ અને સમય વિશે વિચારો;

• ચૂકવવાનું સાદું વ્યાજ, મુદ્દલ અને સાદા વ્યાજનો દર વિશે વિચારો; વગેરે.]

ઉપરોક્ત તમામ ઉદાહરણોમાં, આપણે બે અથવા વધુ જથ્થાઓનો ગુણાકાર કરવો પડ્યો હતો. જો જથ્થાઓ બીજગણિતીય પદાવલિઓ દ્વારા આપવામાં આવ્યા હોય, તો આપણે તેમનો ગુણાકાર શોધવાની જરૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે આ ગુણાકાર કેવી રીતે મેળવવો તે જાણવું જોઈએ. ચાલો આને વ્યવસ્થિત રીતે કરીએ. શરૂઆતમાં આપણે બે એકપદીઓના ગુણાકાર પર નજર કરીશું.

8.3 એકપદીનો એકપદી સાથે ગુણાકાર

જે પદાવલિમાં ફક્ત એક જ પદ હોય તેને એકપદી કહેવાય.

8.3.1 બે એકપદીઓનો ગુણાકાર

આપણે આ રીતે શરૂઆત કરીએ:

તે જ રીતે, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

હવે, નીચેના ગુણાકારો જુઓ.

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

અહીં કેટલાક વધુ ઉપયોગી ઉદાહરણો આપેલા છે.

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

જુઓ કે આપણે બે એકપદીઓના બીજગણિતીય ભાગોમાં વિવિધ ચલોની ઘાતોને કેવી રીતે એકઠા કરીએ છીએ. આમ કરતી વખતે, આપણે ઘાતાંક અને ઘાતના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

નોંધ લો કે $5 \times 4=20$

એટલે કે, ગુણાકારનો સહગુણક $=$ પ્રથમ એકપદીનો સહગુણક $\times$ બીજી એકપદીનો સહગુણક;

અને $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

એટલે કે, ગુણાકારનો બીજગણિતીય અવયવ $=$ પ્રથમ એકપદીનો બીજગણિતીય અવયવ $\times$ બીજી એકપદીનો બીજગણિતીય અવયવ.

8.3.2 ત્રણ અથવા વધુ એકપદીઓનો ગુણાકાર

નીચેના ઉદાહરણો જુઓ.

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે પહેલા પ્રથમ બે એકપદીઓનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને પછી પરિણામી એકપદીનો ત્રીજી એકપદી સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આ પદ્ધતિને કોઈપણ સંખ્યાની એકપદીઓના ગુણાકાર સુધી વિસ્તારી શકાય છે.

પ્રયાસ કરો

$4 x \times 5 y \times 7 z$ શોધો.

પહેલા $4 x \times 5 y$ શોધો અને તેને $7 z$ વડે ગુણો; અથવા પહેલા $5 y \times 7 z$ શોધો અને તેને $4 x$ વડે ગુણો. શું પરિણામ સમાન છે? તમે શું નોંધો છો?

શું તમે જે ક્રમમાં ગુણાકાર કરો છો તે મહત્વનું છે?

ઉદાહરણ 3 : આપેલ લંબાઈ અને પહોળાઈવાળા લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ માટે કોષ્ટક પૂર્ણ કરો.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ 4 : આપેલ લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈવાળા દરેક લંબચોરસ બોક્સનું ઘનફળ શોધો.

ઉકેલ: ઘનફળ $=$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ $\times$ ઊંચાઈ

તેથી, માટે

(i) ઘનફળ $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

માટે: (ii) ઘનફળ $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

માટે: (iii) ઘનફળ $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

કસરત 8.2

1. નીચેની એકપદીઓની જોડીઓનો ગુણાકાર શોધો.

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. નીચેની એકપદીઓની જોડીઓને તેમની લંબાઈ અને પહોળાઈ તરીકે લઈને લંબચોરસોનાં ક્ષેત્રફળ શોધો.

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. ગુણાકારોનું કોષ્ટક પૂર્ણ કરો.

4. નીચેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈવાળા લંબચોરસ બોક્સોનું ઘનફળ મેળવો.

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. નીચેનાનો ગુણાકાર મેળવો.

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 એકપદીનો બહુપદી સાથે ગુણાકાર

જે પદાવલિમાં બે પદ હોય તેને દ્વિપદી કહેવાય. ત્રણ પદ ધરાવતી પદાવલિ ત્રિપદી છે અને આમ જ. સામાન્ય રીતે, એક અથવા વધુ પદો ધરાવતી પદાવલિ (જેમાં ચલોના ઘાતાંક બિન-ઋણ પૂર્ણાંકો હોય અને શૂન્યેતર સહગુણકો હોય) બહુપદી કહેવાય.

8.4.1 એકપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર

ચાલો એકપદી $3 x$ નો દ્વિપદી $5 y+2$ સાથે ગુણાકાર કરીએ, એટલે કે, $3 x \times(5 y+2)=$ શોધીએ?

યાદ કરો કે $3 x$ અને $(5 y+2)$ સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેથી, વિતરણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

આપણે સામાન્ય રીતે આપણી ગણતરીઓમાં વિતરણ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

તે જ રીતે, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

અને: $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

દ્વિપદી $\times$ એકપદી વિશે શું? ઉદાહરણ તરીકે, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

આપણે ક્રમચય નિયમનો ઉપયોગ કરી શકીએ: $7 \times 3=3 \times 7$; અથવા સામાન્ય રીતે $a \times b=b \times a$

તે જ રીતે, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ પહેલાની જેમ.

પ્રયાસ કરો

ગુણાકાર શોધો

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 એકપદીનો ત્રિપદી સાથે ગુણાકાર

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ ધ્યાનમાં લો. અગાઉના કિસ્સાની જેમ, આપણે વિતરણ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ત્રિપદીના દરેક પદને એકપદી વડે ગુણો અને ગુણાકારો ઉમેરો.

નોંધ લો, વિતરણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પદ દ્વારા પદ ગુણાકાર કરવામાં સક્ષમ છીએ.

પ્રયાસ કરો

ગુણાકાર શોધો:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

ઉદાહરણ 5 : પદાવલિઓને સરળ બનાવો અને આપેલ નિર્દેશ મુજબ તેમનું મૂલ્યાંકન કરો: (i) $x(x-3)+2$ માટે $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ માટે $y=-2$

ઉકેલ:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ માટે } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ માટે

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

ઉદાહરણ 6 : ઉમેરો

(i) $5 m(3-m)$ અને $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ અને $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

ઉકેલ:

(i) પ્રથમ પદાવલિ $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

હવે તેમાં બીજી પદાવલિ ઉમેરતા, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) પ્રથમ પદાવલિ $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

બીજી પદાવલિ $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

બે પદાવલિઓ ઉમેરતા,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

ઉદાહરણ 7 : $3 p q(p-q)$ માંથી $2 p q(p+q)$ બાદ કરો.

ઉકેલ: આપણી પાસે $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ અને

બાદબાકી કરતા,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

કસરત 8.3

1. નીચેની દરેક જોડની પદાવલિઓનો ગુણાકાર કરો. (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. કોષ્ટક પૂર્ણ કરો.

3. ગુણાકાર શોધો.

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ સરળ બનાવો અને (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ માટે તેનું મૂલ્ય શોધો.

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ સરળ બનાવો અને (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ માટે તેનું મૂલ્ય શોધો.

5. (a) ઉમેરો: $p(p-q), q(q-r)$ અને $r(r-p)$

(b) ઉમેરો: $2 x(z-x-y)$ અને $2 y(z-y-x)$

(c) બાદ કરો: $3 l(l-4 m+5 n)$ માંથી $4 l(10 n-3 m+2 l)$

(d) બાદ કરો: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ માંથી $4 c(-a+b+c)$

8.5 બહુપદીનો બહુપદી સાથે ગુણાકાર

8.5.1 દ્વિપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર

ચાલો એક દ્વિપદી $(2 a+3 b)$ નો બીજી દ્વિપદી, ધારો કે $(3 a+4 b)$ સાથે ગુણાકાર કરીએ. આપણે આને પગલું-દર-પગલું કરીએ છીએ, જેમ કે અગાઉના કિસ્સાઓમાં કર્યું હતું, ગુણાકારના વિતરણ નિયમને અનુસરીને,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{નોંધ લો, એક દ્વિપદીનો દરેક} \\ \text{પદ બીજી દ્વિપદીના દરેક} \\ \text{પદ સાથે ગુણાકાર કરે છે.} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{કારણ કે } ba=ab) \end{aligned} $

જ્યારે આપણે પદ દ્વારા પદ ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે $2 \times 2=4$ પદો હોવાની અપેક્ષા રાખીએ છીએ. પરંતુ આમાંથી બે સમાન પદો છે, જેને જોડવામાં આવે છે, અને તેથી આપણને 3 પદ મળે છે. બહુપદીઓનો બહુપદીઓ સાથે ગુણાકાર કરતી વખતે, આપણે હંમેશા સમાન પદો, જો કોઈ હોય ત