१०.१ प्रस्तावना

खाली दाखवल्याप्रमाणे जेव्हा आपण काही समतल आकृत्या यांच्याबद्दल बोलतो, तेव्हा आपण त्यांचे प्रदेश आणि त्यांच्या सीमा यांचा विचार करतो. त्यांची तुलना करण्यासाठी आपल्याला काही मापांची आवश्यकता असते. आता आपण याचा विचार करू.

१०.२ परिमिती

खालील आकृत्या (आकृती १०.१) पहा. तुम्ही तार किंवा दोरीने त्या बनवू शकता.

जर तुम्ही प्रत्येक बाबतीत बिंदू $S$ पासून सुरुवात करून रेषाखंडांवरुन जात राहिलात तर तुम्ही पुन्हा बिंदू $S$ वर पोहोचता. तुम्ही प्रत्येक बाबतीत (a), (b) आणि (c) मध्ये आकृतीची एक पूर्ण फेरी केली आहे.

कापलेले अंतर हे आकृती काढण्यासाठी वापरलेल्या तारेच्या लांबीएवढे आहे.

हे अंतर परिमिती म्हणून ओळखले जाते. ही आकृत्या बनवण्यासाठी लागणाऱ्या तारेची लांबी आहे.

परिमितीची कल्पना आपल्या दैनंदिन जीवनात मोठ्या प्रमाणात वापरली जाते.

• शेतकऱ्याला आपले शेत कुंपण घालायचे आहे.
• इंजिनिअरला घराच्या सर्व बाजूंनी परिसराची भिंत बांधायची आहे.
• व्यक्तीने खेळ आयोजित करण्यासाठी ट्रॅक तयार करायचा आहे.

या सर्व लोकांना ‘परिमिती’ ची कल्पना वापरायची आहे.

अशा पाच उदाहरणांची यादी करा जिथे तुम्हाला परिमिती माहित असणे आवश्यक आहे.

परिमिती म्हणजे बंद आकृती तयार करणार्या सीमेवरुन एकदा आकृतीभोवती फिरल्यावर कापलेले अंतर.

हे करून पहा

१. तुमच्या अभ्यास टेबलाच्या वरच्या बाजूच्या चार बाजूंची लांबी मोजा आणि लिहा.

AB= _______ सेमी
BC= _______ सेमी
CD= _______ सेमी
DA= _______ सेमी

आता, चार बाजूंच्या लांबींची बेरीज

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी

$=$ ______सेमी

परिमिती किती?

२. तुमच्या वहीच्या एका पानाच्या चार बाजूंची लांबी मोजा आणि लिहा. चार बाजूंच्या लांबींची बेरीज

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी+ _____ सेमी

$=$ ______सेमी

पानाची परिमिती किती?

३. मीरा एका उद्यानात गेली ज्याची लांबी $150 m$ आणि रुंदी $80 m$ आहे. तिने त्याच्या सीमेवर एक पूर्ण फेरी घेतली. तिने कापलेले अंतर किती?

४. खालील आकृत्यांची परिमिती काढा:

तर, पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेल्या कोणत्याही बंद आकृतीची परिमिती तुम्हाला कशी सापडेल? फक्त सर्व बाजूंच्या (ज्या रेषाखंड आहेत) लांबींची बेरीज करा.

१०.२.१ आयताची परिमिती

आयत $ABCD$ (आकृती १०.२) चा विचार करू या ज्याची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $15 cm$ आणि $9 cm$ आहे. त्याची परिमिती किती असेल?

आयताची परिमिती $=$ त्याच्या चार बाजूंच्या लांबींची बेरीज.

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

लक्षात ठेवा की आयताच्या समोरासमोरच्या बाजू समान असतात म्हणून AB = CD, AD = BC

हे करून पहा

खालील आयतांची परिमिती काढा:

आयताची लांबी	आयताची रुंदी	सर्व बाजू जोडून परिमिती	$2 \times($ (लांबी + रुंदी) $)$ या सूत्राने परिमिती
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

म्हणून, वरील उदाहरणावरून, आपल्याला दिसून येते की आयताची परिमिती $=$ लांबी + रुंदी + लांबी + रुंदी म्हणजेच आयताची परिमिती $=\mathbf{2} \times($ (लांबी + रुंदी) $)$

आता या कल्पनेचा व्यावहारिक उपयोग पाहू या:

उदाहरण १ : शबानाला आयताकृती टेबल कव्हरच्या (आकृती १०.३) सर्व बाजूंना लेसची किनार लावायची आहे, ज्याची लांबी $3 m$ आणि रुंदी $2 m$ आहे. शबानाला लागणाऱ्या लेसची लांबी काढा.

उकल : आयताकृती टेबल कव्हरची लांबी $=3 m$

आयताकृती टेबल कव्हरची रुंदी $=2 m$

शबानाला टेबल कव्हरच्या सर्व बाजूंना लेसची किनार लावायची आहे. म्हणून, लागणाऱ्या लेसची लांबी ही आयताकृती टेबल कव्हरच्या परिमितीएवढी असेल.

आता, आयताकृती टेबल कव्हरची परिमिती

$=2 \times($ (लांबी + रुंदी) $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

म्हणून, लागणाऱ्या लेसची लांबी $10 m$ आहे.

उदाहरण २ : एका खेळाडूने आयताकृती उद्यानाची १० फेऱ्या केल्या, ज्याची लांबी $50 m$ आणि रुंदी $25 m$ आहे. त्याने कापलेले एकूण अंतर काढा.

उकल : आयताकृती उद्यानाची लांबी $=50 m$

आयताकृती उद्यानाची रुंदी $=25 m$

खेळाडूने एका फेरीत कापलेले एकूण अंतर हे उद्यानाची परिमिती असेल.

आता, आयताकृती उद्यानाची परिमिती

$=2 \times($ (लांबी + रुंदी) $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

म्हणून, खेळाडूने एका फेरीत कापलेले अंतर $150 m$ आहे.

म्हणून, १० फेऱ्यांत कापलेले अंतर $=10 \times 150 m=1500 m$

खेळाडूने कापलेले एकूण अंतर $1500 m$ आहे.

उदाहरण ३ : आयताची परिमिती काढा ज्याची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $150 cm$ आणि $1 m$ आहे.

उकल : लांबी $=150 cm$

$ \text{ रुंदी }=1 m=100 cm $

आयताची परिमिती

$=2 \times($ (लांबी + रुंदी) $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

उदाहरण ४ : एका शेतकऱ्याकडे लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $240 m$ आणि $180 m$ असलेले आयताकृती शेत आहे. तो आकृती १०.४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे ३ वेढ्यांची दोरीने त्याला कुंपण घालू इच्छितो. त्याला लागणाऱ्या दोरीची एकूण लांबी किती?

उकल: शेतकऱ्याला त्या शेताची परिमितीच्या तिप्पट अंतर कापावे लागेल. म्हणून, लागणाऱ्या दोरीची एकूण लांबी ही त्याच्या परिमितीच्या तिप्पट असेल.

शेताची परिमिती $=2 \times($ (लांबी + रुंदी) $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

लागणाऱ्या दोरीची एकूण लांबी $=3 \times 840 m=2520 m$

उदाहरण ५ : लांबी $250 m$ आणि रुंदी $175 m$ असलेल्या आयताकृती उद्यानाला दर मीटरला ₹ १२ या दराने कुंपण घालण्याचा खर्च काढा.

उकल : आयताकृती उद्यानाची लांबी $=250 m$

आयताकृती उद्यानाची रुंदी $=175 m$

कुंपण घालण्याचा खर्च काढण्यासाठी आपल्याला परिमितीची आवश्यकता आहे.

आयताची परिमिती $=2 \times($ (लांबी + रुंदी) $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

कुंपण घालण्याचा खर्च $1 m$ प्रति मीटर $=₹ 12$

म्हणून, उद्यानाला कुंपण घालण्याचा एकूण खर्च

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

१०.२.२ नियमित आकृत्यांची परिमिती

हे उदाहरण विचारात घ्या.

बिस्वामित्राला चौरस चित्राच्या (आकृती १०.५) सर्व बाजूंना रंगीत टेप लावायचा आहे ज्याची बाजू $1 m$ आहे. त्याला लागणाऱ्या रंगीत टेपची लांबी किती असेल?

बिस्वामित्राला चौरस चित्राच्या सर्व बाजूंना रंगीत टेप लावायचा असल्याने, त्याला चित्राच्या फ्रेमची परिमिती काढायची आहे.

म्हणून, लागणाऱ्या टेपची लांबी

$=$ चौरसाची परिमिती $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

आता, आपल्याला माहित आहे की चौरसाच्या चारही बाजू समान असतात, म्हणून त्या चार वेळा जोडण्याऐवजी, आपण एका बाजूची लांबी ४ ने गुणू शकतो. म्हणून, लागणाऱ्या टेपची लांबी $=4 \times 1 m=4 m$

या उदाहरणावरून, आपल्याला दिसते की

चौरसाची परिमिती $=\mathbf{4} \times$ बाजूची लांबी

अशा आणखी चौरस काढा आणि त्यांची परिमिती काढा.

आता, समभुज त्रिकोणाकडे (आकृती १०.६) पहा ज्याची प्रत्येक बाजू $4 cm$ इतकी आहे. आपण त्याची परिमिती काढू शकतो का?

या समभुज त्रिकोणाची परिमिती $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

म्हणून, आपल्याला आढळते की

समभुज त्रिकोणाची परिमिती $=3 \times$ बाजूची लांबी

चौरस आणि समभुज त्रिकोण यात काय साम्य आहे? ते अशा आकृत्या आहेत ज्यांच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या आणि सर्व कोन समान मापाचे असतात. अशा आकृत्या नियमित बंद आकृत्या म्हणून ओळखल्या जातात. अशाप्रकारे, चौरस आणि समभुज त्रिकोण हे नियमित बंद आकृत्या आहेत.

हे करून पहा

तुमच्या आजूबाजूला असलेल्या विविध वस्तू शोधा ज्यांचे आकार नियमित आहेत आणि त्यांची परिमिती काढा.

तुम्हाला आढळले की,

चौरसाची परिमिती $=4 \times$ एका बाजूची लांबी

समभुज त्रिकोणाची परिमिती $=3 \times$ एका बाजूची लांबी

तर, नियमित पंचकोनाची परिमिती किती असेल?

नियमित पंचकोनाच्या पाच बाजू समान असतात.

म्हणून, नियमित पंचकोनाची परिमिती $=5 \times$ एका बाजूची लांबी आणि नियमित षटकोनाची परिमिती _______ असेल आणि अष्टकोनाची परिमिती _______ असेल.

उदाहरण ६ : शैनाने बाजू $70 m$ असलेल्या चौरस उद्यानाच्या तीन फेऱ्या घेतल्यास तिने कापलेले अंतर काढा.

उकल : चौरस उद्यानाची परिमिती $=4 \times$ बाजूची लांबी $=4 \times 70 m=280 m$

एका फेरीत कापलेले अंतर $=280 m$

म्हणून, तीन फेऱ्यांत कापलेले अंतर $=3 \times 280 m=840 m$

उदाहरण ७ : पिंकी बाजू $75 m$ असलेल्या चौरस शेताभोवती धावते, बॉब लांबी $160 m$ आणि रुंदी $105 m$ असलेल्या आयताकृती शेताभोवती धावतो. कोण जास्त अंतर कापतो आणि कितीने?

उकल : पिंकीने एका फेरीत कापलेले अंतर $=$ चौरसाची परिमिती

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ बाजूची लांबी } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

बॉबने एका फेरीत कापलेले अंतर $=$ आयताची परिमिती

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ लांबी }+ \text{ रुंदी }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

कापलेल्या अंतरातील फरक $=530 m-300 m=230 m$.

म्हणून, बॉब $230 m$ ने जास्त अंतर कापतो.

उदाहरण ८ : बाजू $3 cm$ असलेल्या नियमित पंचकोनाची परिमिती काढा.

उकल : या नियमित बंद आकृतीला ५ बाजू आहेत, प्रत्येकाची लांबी $3 cm$ आहे. अशाप्रकारे, आपल्याला मिळते

नियमित पंचकोनाची परिमिती $=5 \times 3 cm=15 cm$

उदाहरण ९ : नियमित षटकोनाची परिमिती $18 cm$ आहे. त्याची एक बाजू किती लांब आहे?

उकल : परिमिती $=18 cm$

नियमित षटकोनाला ६ बाजू असतात, म्हणून एका बाजूची लांबी मिळवण्यासाठी आपण परिमितीला ६ ने भागू शकतो.

षटकोनाची एक बाजू $=18 cm \div 6=3 cm$

म्हणून, नियमित षटकोनाच्या प्रत्येक बाजूची लांबी $3 cm$ आहे.

उपक्रम १०.१

१. खालील प्रत्येक आकृतीची परिमिती काढा:

२. बाजू $40 cm$ आणि $10 cm$ असलेल्या आयताकृती बॉक्सचे झाकण टेपने सर्व बाजूंनी सील केलेले आहे. लागणाऱ्या टेपची लांबी किती?

३. टेबल-टॉपची मापे $2 m 25 cm$ आणि $1 m 50 cm$ आहेत. टेबल-टॉपची परिमिती किती?

४. लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $32 cm$ आणि $21 cm$ असलेल्या फोटोची फ्रेमिंग करण्यासाठी लागणाऱ्या लाकडी पट्टीची लांबी किती?

५. आयताकृती जमिनीच्या तुकड्याची मापे $0.7 km$ आणि $0.5 km$ आहेत. प्रत्येक बाजूला ४ ओळी तारेचे कुंपण घालायचे आहे. लागणाऱ्या तारेची लांबी किती?

६. खालील प्रत्येक आकाराची परिमिती काढा:

(a) बाजू $3 cm, 4 cm$, $5 cm$ आणि $9 cm$ असलेला त्रिकोण.
(b) बाजू $8 cm$ असलेला समभुज त्रिकोण.
(c) समान बाजू प्रत्येकी $6 cm$ आणि तिसरी बाजू $10 cm, 14 cm$ असलेला समद्विभुज त्रिकोण.

७. बाजू $15 cm$, $8 m$ आणि $20 m$ असलेल्या त्रिकोणाची परिमिती काढा.

८. बाजू $100 cm$ असलेल्या नियमित षटकोनाची परिमिती काढा.

९. चौरसाची बाजू काढा ज्याची परिमिती $30 cm$ आहे.

१०. नियमित पंचकोनाची परिमिती $12 cm$ आहे. त्याची प्रत्येक बाजू किती लांब आहे?

११. दोरीचा तुकडा $14 cm$ लांब आहे. जर दोरीचा वापर करून खालील आकृत्या तयार केल्या तर प्रत्येक बाजूची लांबी किती असेल:

(a) चौरस?
(b) समभुज त्रिकोण?
(c) नियमित षटकोन?

१२. त्रिकोणाच्या दोन बाजू $36 cm$ आणि $250 m$ आहेत. त्रिकोणाची परिमिती $₹ 20$ आहे. त्याची तिसरी बाजू किती?

१३. बाजू $175 m$ असलेल्या चौरस उद्यानाला दर मीटरला $125 m$ या दराने कुंपण घालण्याचा खर्च काढा.

१४. लांबी $75 m$ आणि रुंदी $60 m$ असलेल्या आयताकृती उद्यानाला दर मीटरला ₹ १२ या दराने कुंपण घालण्याचा खर्च काढा.

१५. स्वीटी बाजू $45 m$ असलेल्या चौरस उद्यानाभोवती धावते. बुलबुल लांबी $\frac{1}{2} m$ आणि रुंदी $1 cm \times 1 cm$ असलेल्या आयताकृती उद्यानाभोवती धावते. कोण कमी अंतर कापते?

१६. खालील प्रत्येक आकृतीची परिमिती किती? तुम्ही उत्तरांवरून काय अनुमान काढता?

१७. अवनीत ९ चौरस फरशा खरेदी करतो, प्रत्येकाची बाजू $1 sq ~cm$ आहे. तो त्यांना चौरसाच्या रूपात मांडतो.

(a) त्याच्या मांडणीची परिमिती किती [आकृती १०.७(i)]?
(b) शारीला त्याची मांडणी आवडत नाही. ती त्याला क्रॉसच्या रूपात मांडण्यास सांगते. तिच्या मांडणीची परिमिती किती [आकृती १०.७ (ii)]?
(c) कोणत्या मांडणीची परिमिती जास्त आहे?
(d) अवनीत विचार करतो की आणखी जास्त परिमिती मिळवण्याचा मार्ग आहे का? तुम्हाला असे करण्याचा मार्ग सापडतो का? (फरशा संपूर्ण कडांनी जोडल्या गेल्या पाहिजेत म्हणजेच त्या तोडल्या जाऊ शकत नाहीत.)

१०.३ क्षेत्रफळ

खाली दिलेल्या बंद आकृत्या (आकृती १०.८) पहा. त्या सर्व काही समतल पृष्ठभागाचा काही भाग व्यापतात. तुम्ही सांगू शकता का की कोणती आकृती जास्त भाग व्यापते?

बंद आकृतीने वेढलेल्या पृष्ठभागाच्या प्रमाणाला त्याचे क्षेत्रफळ म्हणतात.

तर, तुम्ही सांगू शकता का की, वरीलपैकी कोणत्या आकृतीचे क्षेत्रफळ जास्त आहे?

आता, आकृती १०.९ च्या लगतच्या आकृत्या पहा:

यापैकी कोणत्या आकृतीचे क्षेत्रफळ मोठे आहे? फक्त या आकृत्या पाहून सांगणे कठीण आहे. तर, तुम्ही काय करता?

प्रत्येक चौरस $1 cm \times 1 cm$ मोजतो अशा चौकटी असलेल्या कागदावर किंवा आलेख कागदावर त्यांना ठेवा.

आकृतीची रूपरेषा काढा.

आकृतीने वेढलेल्या चौरसाकडे पहा. त्यापैकी काही पूर्णपणे वेढलेले आहेत, काही अर्धे, काही अर्ध्यापेक्षा कमी आणि काही अर्ध्यापेक्षा जास्त.

क्षेत्रफळ म्हणजे ते झाकण्यासाठी लागणाऱ्या सेंटीमीटर चौरसांची संख्या.

पण एक छोटीशी अडचण आहे: चौरस नेहमीच तुम्ही मोजत असलेल्या क्षेत्रात नक्की बसत नाहीत. आपण एक करार स्वीकारून या अडचणीवर मात करतो:

• एका पूर्ण चौरसाचे क्षेत्रफळ १ चौरस एकक मानले जाते. जर तो सेंटीमीटर चौरस कागद असेल, तर एका पूर्ण चौरसाचे क्षेत्रफळ $1 sq ~cm$ असेल.
• अर्ध्या चौरसापेक्षा कमी क्षेत्रफळ असलेल्या भागाकडे दुर्लक्ष करा.
• जर एखाद्या प्रदेशात अर्ध्यापेक्षा जास्त चौरस असेल, तर तो एक चौरस म्हणून मोजा.
• जर नक्की अर्धा चौरस मोजला असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ $\frac{1}{2}$ चौरस एकक माना.

असा करार केल्याने इच्छित क्षेत्रफळाचा चांगला अंदाज मिळतो.

उदाहरण १० : आकृती १०.१० मध्ये दाखवलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल : ही आकृती रेषाखंडांनी बनलेली आहे.

शिवाय, ती फक्त पूर्ण चौरस आणि अर्ध्या चौरसांनी झाकलेली आहे. यामुळे आपले काम सोपे होते.

(i) पूर्ण भरलेले चौरस $=3$
(ii) अर्धे भरलेले चौरस $=3$

पूर्ण चौरसांनी व्यापलेले क्षेत्रफळ

$=3 \times 1$ चौ. एकक $=3$ चौ. एकक

एकूण क्षेत्रफळ $=4 \frac{1}{2}$ चौ. एकक.

आकृती १०.१०

उदाहरण ११ : चौरस मोजून, आकृती $10.9 b$ चे क्षेत्रफळ अंदाजे काढा.

उकल : आलेख कागदावर आकृतीची रूपरेषा काढा. (आकृती १०.११)

एकूण क्षेत्रफळ $=11+3 \times \frac{1}{2}+7=19 \frac{1}{2}$ चौ. एकक.

चौरस ते कसे झाकतात?

उदाहरण १२ : चौरस मोजून, आकृती $10.9 a$ चे क्षेत्रफळ अंदाजे काढा.

उकल : आलेख कागदावर आकृतीची रूपरेषा काढा. चौरस आकृती कशी झाकतात ते पहा (आकृती १०.१२).

हे करून पहा

१. आलेख कागदावर कोणताही वर्तुळ काढा. चौरस मोजा आणि वर्तुळाकार प्रदेशाचे क्षेत्रफळ अंदाजे काढण्यासाठी त्यांचा वापर करा.

२. आलेख कागदावर पाने, फुलांची पाकळ्या आणि इतर अशा वस्तूंच्या आकारांचे ट्रेस करा आणि त्यांचे क्षेत्रफळ काढा.

उपक्रम १०.२

१. चौरस मोजून खालील आकृत्यांचे क्षेत्रफळ काढा:

१०.३.१ आयताचे क्षेत्रफळ

चौकटी असलेल्या कागदाच्या मदतीने, आपण सांगू शकतो का की, लांबी $5 cm$ आणि रुंदी $3 cm$ असलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ किती असेल?

$1 cm \times 1 cm$ चौ