10.1 పరిచయం

మనం క్రింద చూపిన విధంగా కొన్ని సమతల ఆకారాల గురించి మాట్లాడినప్పుడు, వాటి ప్రాంతాలు మరియు వాటి సరిహద్దుల గురించి ఆలోచిస్తాము. వాటిని పోల్చడానికి మనకు కొన్ని కొలతలు అవసరం. మనం ఇప్పుడు ఈ విషయాలను పరిశీలిద్దాం.

10.2 చుట్టుకొలత

క్రింది పటాలను (Fig. 10.1) చూడండి. మీరు వాటిని తీగ లేదా దారంతో తయారు చేయవచ్చు.

మీరు ప్రతి సందర్భంలో బిందువు $S$ నుండి ప్రారంభించి, రేఖా ఖండాల వెంట కదులుతూ ఉంటే, మీరు మళ్లీ బిందువు $S$ చేరుకుంటారు. మీరు ప్రతి సందర్భంలో (a), (b) & (c) ఆకారం యొక్క పూర్తి చుట్టూ తిరిగారు.

కవర్ చేయబడిన దూరం ఆకారాన్ని గీయడానికి ఉపయోగించిన తీగ యొక్క పొడవుకు సమానం.

ఈ దూరాన్ని చుట్టుకొలత (perimeter) అంటారు. ఇది ఆకారాలను ఏర్పరచడానికి అవసరమైన తీగ యొక్క పొడవు.

చుట్టుకొలత యొక్క భావన మన రోజువారీ జీవితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

• తన పొలానికి కంచె వేయాలనుకునే రైతు.
• ఇంటి చుట్టూ కంపౌండ్ గోడ నిర్మించాలని ప్లాన్ చేస్తున్న ఇంజనీర్.
• క్రీడలు నిర్వహించడానికి ట్రాక్ తయారు చేస్తున్న వ్యక్తి.

ఈ వ్యక్తులందరూ ‘చుట్టుకొలత’ యొక్క భావనను ఉపయోగిస్తారు.

మీరు చుట్టుకొలత తెలుసుకోవలసిన పరిస్థితులకు ఐదు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

చుట్టుకొలత అనేది మీరు ఒక మూసిన ఆకారం చుట్టూ ఒకసారి తిరిగినప్పుడు, ఆ ఆకారాన్ని ఏర్పరుస్తూ సరిహద్దు వెంబడి కవర్ చేయబడిన దూరం.

ఇవి చేయండి

1. మీ స్టడీ టేబుల్ పైభాగం యొక్క నాలుగు వైపుల పొడవును కొలిచి రాయండి.

AB= _______ సెం.మీ
BC= _______ సెం.మీ
CD= _______ సెం.మీ
DA= _______ సెం.మీ

ఇప్పుడు, నాలుగు వైపుల పొడవుల మొత్తం

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ

$=$ ______సెం.మీ

చుట్టుకొలత ఎంత?

2. మీ నోట్బుక్ పేజీ యొక్క నాలుగు వైపుల పొడవులను కొలిచి రాయండి. నాలుగు వైపుల పొడవుల మొత్తం

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ

$=$ ______సెం.మీ

పేజీ యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత?

3. మీర $150 m$ పొడవు మరియు $80 m$ వెడల్పు ఉన్న ఒక పార్కుకు వెళ్లింది. ఆమె దాని సరిహద్దు మీద ఒక పూర్తి చుట్టూ తిరిగింది. ఆమె కవర్ చేసిన దూరం ఎంత?

4. క్రింది పటాల చుట్టుకొలతను కనుగొనండి:

కాబట్టి, పూర్తిగా రేఖా ఖండాలతో చేయబడిన ఏదైనా మూసిన ఆకారం యొక్క చుట్టుకొలతను మీరు ఎలా కనుగొంటారు? సరళంగా అన్ని వైపుల (ఇవి రేఖా ఖండాలు) పొడవుల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

10.2.1 దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $15 cm$ మరియు $9 cm$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం $ABCD$ (Fig 10.2) ను పరిశీలిద్దాం. దీని చుట్టుకొలత ఎంత ఉంటుంది?

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=$ దాని నాలుగు వైపుల పొడవుల మొత్తం.

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

గుర్తుంచుకోండి: దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ఎదురెదురు వైపులు సమానం కాబట్టి AB = CD, AD = BC

ఇవి చేయండి

క్రింది దీర్ఘచతురస్రాల చుట్టుకొలతను కనుగొనండి:

దీర్ఘచతురస్రం పొడవు	దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు	అన్ని వైపులను కలిపి చుట్టుకొలత	చుట్టుకొలత $2 \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)$
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

అందువల్ల, పై ఉదాహరణ నుండి, మనం గమనించేది ఏమిటంటే దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=$ పొడవు + వెడల్పు + పొడవు + వెడల్పు అంటే దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=\mathbf{2} \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)$

ఇప్పుడు ఈ భావన యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 1 : షబానా దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ (Fig 10.3) చుట్టూ, $3 m$ పొడవు మరియు $2 m$ వెడల్పు ఉన్నదానికి, లేస్ బార్డర్ అంటుకోవాలనుకుంటుంది. షబానాకు అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి.

సాధన : దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క పొడవు $=3 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క వెడల్పు $=2 m$

షబానా టేబుల్ కవర్ చుట్టూ లేస్ బార్డర్ అంటుకోవాలనుకుంటుంది. కాబట్టి, అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవు దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క చుట్టుకొలతకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క చుట్టుకొలత

$=2 \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

కాబట్టి, అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవు $10 m$.

ఉదాహరణ 2 : ఒక అథ్లెట్ $50 m$ పొడవు మరియు $25 m$ వెడల్పు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ చుట్టూ 10 రౌండ్లు తిరుగుతాడు. అతను కవర్ చేసిన మొత్తం దూరాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క పొడవు $=50 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క వెడల్పు $=25 m$

అథ్లెట్ ఒక రౌండ్లో కవర్ చేసిన మొత్తం దూరం పార్క్ యొక్క చుట్టుకొలత అవుతుంది.

ఇప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క చుట్టుకొలత

$=2 \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

కాబట్టి, అథ్లెట్ ఒక రౌండ్లో కవర్ చేసిన దూరం $150 m$.

అందువల్ల, 10 రౌండ్లలో కవర్ చేయబడిన దూరం $=10 \times 150 m=1500 m$

అథ్లెట్ చేత కవర్ చేయబడిన మొత్తం దూరం $1500 m$.

ఉదాహరణ 3 : పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $150 cm$ మరియు $1 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

సాధన : పొడవు $=150 cm$

$ \text{ వెడల్పు }=1 m=100 cm $

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

$=2 \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

ఉదాహరణ 4 : ఒక రైతు వద్ద పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $240 m$ మరియు $180 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం ఉంది. అతను దానిని పటం 10.4లో చూపిన విధంగా 3 రౌండ్ల తాడుతో కంచె వేయాలనుకుంటాడు. అతను ఉపయోగించాల్సిన తాడు యొక్క మొత్తం పొడవు ఎంత?

సాధన: రైతు ఆ పొలం యొక్క చుట్టుకొలతకు మూడు రెట్లు కవర్ చేయాలి. అందువల్ల, అవసరమైన తాడు యొక్క మొత్తం పొడవు దాని చుట్టుకొలతకు మూడు రెట్లు.

పొలం యొక్క చుట్టుకొలత $=2 \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

అవసరమైన తాడు యొక్క మొత్తం పొడవు $=3 \times 840 m=2520 m$

ఉదాహరణ 5 : $250 m$ పొడవు మరియు $175 m$ వెడల్పు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ చుట్టూ మీటరుకు ₹ 12 రేటుతో కంచె వేయడానికి అయ్యే ఖర్చును కనుగొనండి.

సాధన : దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క పొడవు $=250 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క వెడల్పు $=175 m$

కంచె వేయడానికి అయ్యే ఖర్చును లెక్కించడానికి మనకు చుట్టుకొలత అవసరం.

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=2 \times($ (పొడవు + వెడల్పు) $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

కంచె వేయడానికి ఖర్చు $1 m$ పార్క్ యొక్క $=₹ 12$

అందువల్ల, పార్క్ చుట్టూ కంచె వేయడానికి మొత్తం ఖర్చు

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 సమబాహు ఆకారాల చుట్టుకొలత

ఈ ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

బిస్వమిత్ర $1 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార చిత్రం (Fig 10.5) చుట్టూ రంగు టేప్ అంటుకోవాలనుకుంటాడు. అతనికి అవసరమైన రంగు టేప్ యొక్క పొడవు ఎంత ఉంటుంది?

బిస్వమిత్ర చతురస్రాకార చిత్రం చుట్టూ రంగు టేప్ అంటుకోవాలనుకున్నందున, అతను చిత్రం ఫ్రేమ్ యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనాలి.

అందువల్ల, అవసరమైన టేప్ యొక్క పొడవు

$=$ చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

ఇప్పుడు, చతురస్రం యొక్క నాలుగు వైపులా సమానంగా ఉంటాయని మనకు తెలుసు, కాబట్టి, దానిని నాలుగు సార్లు కలపడానికి బదులుగా, మనం ఒక వైపు పొడవును 4తో గుణించవచ్చు. అందువల్ల, అవసరమైన టేప్ యొక్క పొడవు $=4 \times 1 m=4 m$

ఈ ఉదాహరణ నుండి, మనం చూస్తాము

చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=\mathbf{4} \times$ భుజం యొక్క పొడవు

ఇలాంటి మరిన్ని చతురస్రాలను గీయండి మరియు వాటి చుట్టుకొలతలను కనుగొనండి.

ఇప్పుడు, ప్రతి భుజం $4 cm$కి సమానంగా ఉన్న సమబాహు త్రిభుజాన్ని (Fig 10.6) చూడండి. దీని చుట్టుకొలతను మనం కనుగొనగలమా?

ఈ సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

కాబట్టి, మనం కనుగొంటాము

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $=3 \times$ భుజం యొక్క పొడవు

చతురస్రం మరియు సమబాహు త్రిభుజం మధ్య ఏది సమానంగా ఉంటుంది? అవి అన్ని భుజాలు సమాన పొడవు మరియు అన్ని కోణాలు సమాన కొలత కలిగిన ఆకారాలు. అటువంటి ఆకారాలను సమబాహు మూసిన ఆకారాలు (regular closed figures) అంటారు. అందువల్ల, చతురస్రం మరియు సమబాహు త్రిభుజం సమబాహు మూసిన ఆకారాలు.

ఇవి చేయండి

మీ చుట్టుపక్కల నుండి సమబాహు ఆకారాలు కలిగిన వివిధ వస్తువులను కనుగొని, వాటి చుట్టుకొలతలను కనుగొనండి.

మీరు కనుగొన్నారు,

చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=4 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $=3 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు

కాబట్టి, సమబాహు పంచభుజి (regular pentagon) యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత ఉంటుంది?

సమబాహు పంచభుజికి ఐదు సమాన భుజాలు ఉంటాయి.

అందువల్ల, సమబాహు పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత $=5 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు మరియు సమబాహు షడ్భుజి (regular hexagon) యొక్క చుట్టుకొలత _______ మరియు అష్టభుజి (octagon) యొక్క చుట్టుకొలత _______ అవుతుంది.

ఉదాహరణ 6 : షైనా $70 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార పార్క్ చుట్టూ మూడు రౌండ్లు తిరిగితే, ఆమె ప్రయాణించిన దూరాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : చతురస్రాకార పార్క్ యొక్క చుట్టుకొలత $=4 \times$ భుజం యొక్క పొడవు $=4 \times 70 m=280 m$

ఒక రౌండ్లో కవర్ చేయబడిన దూరం $=280 m$

అందువల్ల, మూడు రౌండ్లలో ప్రయాణించిన దూరం $=3 \times 280 m=840 m$

ఉదాహరణ 7 : పింకీ $75 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార పొలం చుట్టూ పరిగెత్తుతుంది, బాబ్ $160 m$ పొడవు మరియు $105 m$ వెడల్పు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం చుట్టూ పరిగెత్తుతాడు. ఎవరు ఎక్కువ దూరం కవర్ చేస్తారు మరియు ఎంత ఎక్కువ?

సాధన : పింకీ ఒక రౌండ్లో కవర్ చేసిన దూరం $=$ చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ భుజం యొక్క పొడవు } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

బాబ్ ఒక రౌండ్లో కవర్ చేసిన దూరం $=$ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ పొడవు }+ \text{ వెడల్పు }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

కవర్ చేయబడిన దూరంలో వ్యత్యాసం $=530 m-300 m=230 m$.

అందువల్ల, బాబ్ $230 m$ చేత ఎక్కువ దూరం కవర్ చేస్తాడు.

ఉదాహరణ 8 : ప్రతి భుజం $3 cm$ కొలిచే సమబాహు పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

సాధన : ఈ సమబాహు మూసిన ఆకారానికి 5 భుజాలు ఉన్నాయి, ప్రతి ఒక్కటి $3 cm$ పొడవు కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల, మనకు లభిస్తుంది

సమబాహు పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత $=5 \times 3 cm=15 cm$

ఉదాహరణ 9 : ఒక సమబాహు షడ్భుజి యొక్క చుట్టుకొలత $18 cm$. దాని ఒక భుజం పొడవు ఎంత?

సాధన : చుట్టుకొలత $=18 cm$

సమబాహు షడ్భుజికి 6 భుజాలు ఉంటాయి, కాబట్టి ఒక భుజం పొడవును పొందడానికి మనం చుట్టుకొలతను 6తో భాగించవచ్చు.

షడ్భుజి యొక్క ఒక భుజం $=18 cm \div 6=3 cm$

అందువల్ల, సమబాహు షడ్భుజి యొక్క ప్రతి భుజం యొక్క పొడవు $3 cm$.

అభ్యాసం 10.1

1. క్రింది పటాలలో ప్రతి ఒక్కదాని చుట్టుకొలతను కనుగొనండి :

2. $40 cm$ ద్వారా $10 cm$ భుజాలు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పెట్టె యొక్క మూత చుట్టూ టేప్తో సీల్ చేయబడింది. అవసరమైన టేప్ యొక్క పొడవు ఎంత?

3. ఒక టేబుల్-టాప్ $2 m 25 cm$ ద్వారా $1 m 50 cm$ కొలుస్తుంది. టేబుల్-టాప్ యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత?

4. పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $32 cm$ మరియు $21 cm$ ఉన్న ఫోటోను ఫ్రేమ్ చేయడానికి అవసరమైన చెక్క స్ట్రిప్ యొక్క పొడవు ఎంత?

5. దీర్ఘచతురస్రాకార భూమి ముక్క $0.7 km$ ద్వారా $0.5 km$ కొలుస్తుంది. ప్రతి వైపు 4 వరుసల తీగలతో కంచె వేయాలి. అవసరమైన తీగ యొక్క పొడవు ఎంత?

6. క్రింది ఆకారాలలో ప్రతి ఒక్కదాని చుట్టుకొలతను కనుగొనండి :

(a) $3 cm, 4 cm$ మరియు $5 cm$ భుజాలు ఉన్న త్రిభుజం.
(b) $9 cm$ భుజం ఉన్న సమబాహు త్రిభుజం.
(c) సమాన భుజాలు $8 cm$ ప్రతి ఒక్కటి మరియు మూడవ భుజం $6 cm$ ఉన్న సమద్విబాహు త్రిభుజం.

7. భుజాలు $10 cm, 14 cm$ మరియు $15 cm$ కొలిచే త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

8. ప్రతి భుజం $8 m$ కొలిచే సమబాహు షడ్భుజి యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

9. చుట్టుకొలత $20 m$ ఉన్న చతురస్రం యొక్క భుజాన్ని కనుగొనండి.

10. సమబాహు పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత $100 cm$. దాని ప్రతి భుజం పొడవు ఎంత?

11. ఒక తాడు ముక్క $30 cm$ పొడవు ఉంది. ఆ తాడును ఉపయోగించి ఈ క్రింది వాటిని ఏర్పరిస్తే ప్రతి భుజం పొడవు ఎంత ఉంటుంది:

(a) ఒక చతురస్రం?
(b) ఒక సమబాహు త్రిభుజం?
(c) ఒక సమబాహు షడ్భుజి?

12. ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలు $12 cm$ మరియు $14 cm$. త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $36 cm$. దాని మూడవ భుజం ఏది?

13. $250 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార పార్క్ చుట్టూ మీటరుకు $₹ 20$ రేటుతో కంచె వేయడానికి అయ్యే ఖర్చును కనుగొనండి.

14. $175 m$ పొడవు మరియు $125 m$ వెడల్పు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ చుట్టూ మీటరుకు ₹ 12 రేటుతో కంచె వేయడానికి అయ్యే ఖర్చును కనుగొనండి.

15. స్వీటీ $75 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార పార్క్ చుట్టూ పరిగెత్తుతుంది. బుల్బుల