12.1 પરિચય

અમારા દિનકાળના જીવનમાં, અમે ઘણીવાર એક જ પ્રકારની બે તત્વોની તુલના કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, એવીની અને શારી સ્ક્રેપ નોટબુક માટે ફૂલો એકત્રિત કર્યા. એવીની એકત્રિત ફૂલોની સંખ્યા 30 છે અને શારીએ 45 ફૂલો એકત્રિત કર્યા. તો, અમે કહી શકીએ છીએ કે શારી એવીની કરતાં $45-30=15$ ફૂલો વધુ એકત્રિત કર્યા.

પણ, જો રહીમની ઊંચાઈ $150 cm$ અને એવીની ઊંચાઈ $140 cm$ હોય તો, અમે કહી શકીએ છીએ કે રહીમની ઊંચાઈ એવીની કરતાં $150 cm-140 cm=10 cm$ વધુ છે. આ એક રીત છે જ્યાં તુલના કરવામાં આવે છે જ્યારે તફાવતનો ઉપયોગ થાય છે.

જો અમે એક કાંસાની લંબાઈ અને એક બીજની લંબાઈની તુલના કરવા માંગીએ, તો તફાવત લેવી તુલના દેખાડશે નહીં. બીજની લંબાઈ, સામાન્ય રીતે $4 cm$ થી $5 cm$, કાંસાની કરતાં ખૂબ જ લાંબી છે જ્યાં કાંસાની લંબાઈ થોડી મિલીમીટર છે. તુલના સુંદર રહી શકે છે જો અમે શોધી શકીએ કે બીજની લંબાઈને બરાબર કરવા માટે કેટલા કાંસા એક પાછળથી એક રીતે રાખી શકાય. તો, અમે કહી શકીએ છીએ કે 20 થી 30 કાંસાઓની લંબાઈ બીજની જેવી છે.

એક બીજી ઉદાહરણ વિચારો.

કારની કિંમત ₹ 2,50,000 છે અને મોટરબાઈકની કિંમત ₹ 50,000 છે. જો અમે કિંમતોની તફાવત ગણીએ, તો તે ₹ $2,00,000$ છે અને જો અમે ભાગાંકાંતરે તુલના કરીએ;

અનેમાં $\dfrac{2,50,000}{50,000}=\dfrac{5}{1}$

અમે કહી શકીએ છીએ કે કારની કિંમત મોટરબાઈકની કિંમતની પાચ ગાંઠ છે. આથી, કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં, ભાગાંકાંતરે તુલના કરવી તફાવત લેવાથી કરતાં વધુ સમજૂતી આપે છે. ભાગાંકાંતરે તુલના એ અનુપાત છે. આગામી સ્થિતિમાં, અમે ‘અનુપાત’ વિશે વધુ જાણીશું.

12.2 અનુપાત

નીચે આપેલા ઉદાહરણો વિચારો:

ઈશાનો વજન $25 kg$ છે અને તેના પિતાનો વજન $75 kg$ છે. પિતાનો વજન ઈશાના વજનનો કેટલો છે? તે ત્રણ ગાંઠ છે.

પેનની કિંમત ₹ 10 છે અને પિઝલની કિંમત ₹ 2 છે. પેનની કિંમત પિઝલની કિંમતનો કેટલો છે? અનિવાર્ય રીતે તે પાંચ ગાંઠ છે.

ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં, અમે ‘કેટલી ગાંઠ’ તરીકે બે તત્વોની તુલના કરી છે. આ તુલના અનુપાત તરીકે ઓળખાય છે. અમે અનુપાતને ‘:’ ચિહ્નથી દર્શાવીએ છીએ.

પહેલાના ઉદાહરણો ફરી વિચારો. અમે કહી શકીએ છીએ,

પિતાનો વજન ઈશાના વજનનો અનુપાત $=\dfrac{75}{25}=\dfrac{3}{1}=3: 1$

પેનની કિંમત પિઝલની કિંમતનો અનુપાત $=\dfrac{10}{2}=\dfrac{5}{1}=5: 1$

આપણે આ સમસ્યા વિચારીશું.

એક વર્ગમાં, 20 મુખ્ય છે અને 40 મગજીઓ છે. તેનો અનુપાત શું છે

(ક) મગજીઓની સંખ્યા કુલ વર્ગના વર્ગના સંખ્યાથી.
(ખ) મુખ્યની સંખ્યા કુલ વર્ગના વર્ગના સંખ્યાથી.

આપણે કરીએ

1. એક વર્ગમાં, 20 મુખ્ય છે અને 40 મગજીઓ છે. મુખ્યની સંખ્યા મગજીઓની સંખ્યાથી તેનો અનુપાત શું છે?

2. એક વર્ગમાં 30 વર્ગના વર્ગના છે, તેમાંથી 6 ફૂટબૉલ માંગે છે, 12 ક્રિકેટ માંગે છે અને બાકી ટેનિસ માંગે છે. તેમાંથી ફૂટબૉલ માંગનાર વર્ગના વર્ગના અને ટેનિસ માંગનાર વર્ગના વર્ગના સંખ્યાનો અનુપાત શું છે?

પહેલે અમને કુલ વર્ગના વર્ગના સંખ્યા શોધવી પડશે, જે છે,

મગજીઓની સંખ્યા + મુખ્યની સંખ્યા $=20+40=60$.

પછી, મગજીઓની સંખ્યા કુલ વર્ગના વર્ગના સંખ્યાથી તેનો અનુપાત છે $\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}=2: 3$

પ્રશ્ન (ખ)નું ઉત્તર એમ જ રીતે શોધો.

હવે નીચે આપેલ ઉદાહરણ વિચારો.

એક હાઇલાઇનની લંબાઈ $20 cm$ અને એક ક્રોકોડાઇલની લંબાઈ $4 m$.

“હું તમારા કરતાં 5 ગાંઠ મોટો છું”, કહે છે હાઇલાઇન. જે અમે જોઈ શકીએ છીએ તે

ખૂબ જ અસરકારક છે. હાઇલાઇનની લંબાઈ ક્રોકોડાઇલની લંબાઈનો 5 ગાંઠ ન થઈ શકે. તો, કંઈ ખોટું છે? ધ્યાનથી જુઓ કે હાઇલાઇનની લંબાઈ સેન્ટીમીટરમાં છે અને ક્રોકોડાઇલની લંબાઈ મીટરમાં છે. તો, અમને તેમની લંબાઈને એક જ એકમમાં બદલવી પડશે.

ક્રોકોડાઇલની લંબાઈ $=4 m=4 \times 100=400 cm$.

તોચીને, ક્રોકોડાઇલની લંબાઈ અને હાઇલાઇનની લંબાઈનો અનુપાત છે $=\dfrac{400}{20}=\dfrac{20}{1}=20: 1$.

બે તત્વોની તુલના કરવા માટે તેમને એક જ એકમમાં હોવો જોઈએ.

હવે હાઇલાઇનની લંબાઈ અને ક્રોકોડાઇલની લંબાઈનો અનુપાત શું છે?

તે છે $\dfrac{20}{400}=\dfrac{1}{20}=1: 20$.

ધ્યાનથી જુઓ કે બે અનુપાત $1: 20$ અને $20: 1$ એકબીજાથી અલગ છે. અનુપાત $1: 20$ એ હાઇલાઇનની લંબાઈ અને ક્રોકોડાઇલની લંબાઈનો છે જ્યારે, $20: 1$ એ ક્રોકોડાઇલની લંબાઈ અને હાઇલાઇનની લંબાઈનો છે.

હવે એક બીજી ઉદાહરણ વિચારો.

પીઝલની લંબાઈ $18 cm$ અને તેનો ડાયામીટર $8 mm$. પીઝલના ડાયામીટરનો અને તેની લંબાઈનો અનુપાત શું છે? પીઝલની લંબાઈ અને ડાયામીટર અલગ એકમોમાં આપવામાં આવ્યા છે, તો અમને પહેલે તેમને એક જ એકમમાં બદલવાની જરૂર છે.

તોચીને, પીઝલની લંબાઈ છે $=18 cm$ $=18 \times 10 mm=180 mm$.

પીઝલના ડાયામીટરનો અને તેની લંબાઈનો અનુપાત છે $=\dfrac{8}{180}=\dfrac{2}{45}=2: 45$.

આપણે કરીએ

1. સાઉરાબ તેના ઘરમાંથી સ્કૂલ પહોંચવા માટે 15 મિનિટ લાગે છે અને સચીન એક કલાક લાગે છે. સાઉરાબને લાગેલ સમય અને સચીનને લાગેલ સમયનો અનુપાત શોધો.

2. એક ટોફીની કિંમત 50 પેસે છે અને એક ચોકલેટની કિંમત છે $₹ 10$. ટોફીની કિંમત ચોકલેટની કિંમતનો અનુપાત શોધો.

3. એક સ્કૂલમાં, એક વર્ષમાં 73 રોજ રજૂઆત હતી. રજૂઆતની સંખ્યા એક વર્ષના દિવસોની સંખ્યાથી તેનો અનુપાત શું છે?

એક જ પ્રકારના બે તત્વોની તુલના કરવાની અન્ય પરિસ્થિતિઓ વિચારો જ્યાં તમે તેમને અલગ એકમોમાં હોય.

અમે અનુપાતનો ઉપયોગ અમારા દિનકાળના ઘણીવાર જીવનમાં કરીએ છીએ જ્યાં અમે જાણતા નથી કે અમે તે કરી રહ્યા છીએ.

ચિત્ર A અને B તુલનામાં કરો. B વધુ સુંદર દેખાય છે કે A. શા માટે?

ચિત્ર Aમાં પગોની લંબાઈ અન્ય શરીરના ભાગો કરતાં ખૂબ જ લાંબી છે. આ કારણે અમે સામાન્ય રીતે પગોની લંબાઈ કુલ શરીરની લંબાઈની કેટલી હોવી જોઈએ તે અનુપાત માનીએ છીએ.

એક પીઝલના બે ચિત્રો તુલનામાં કરો. પ્રથમ એક પૂર્ણ પીઝલ જોવામાં આવે છે? નહીં.

શા માટે નહીં? કારણ એ છે કે પીઝલની પાતળાઈ અને લંબાઈ સાચા અનુપાતમાં નથી.

અલગ પરિસ્થિતિઓમાં એક જ અનુપાત:

નીચે આપેલા ઉદાહરણો વિચારો :

• એક રૂમની લંબાઈ છે $30 m$ અને તેની પહોળાઈ છે $20 m$. તો, રૂમની લંબાઈ અને તેની પહોળાઈનો અનુપાત છે $=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}=3: 2$
• પાર્કિનમાં 24 મગજીઓ અને 16 મુખ્ય છે. મગજીઓની સંખ્યા અને મુખ્યની સંખ્યાનો અનુપાત છે $=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}=3: 2$. ઉપરોક્ત બે ઉદાહરણોમાં અનુપાત છે $3: 2$.
• નોંધો કે અનુપાત $30: 20$ અને $24: 16$ ન્યૂનતમ રીતે એક જ છે $3: 2$. આ સમાન અનુપાત છે.
• તમે ક્યારેય કેટલાક અન્ય ઉદાહરણો વિચારી શકો છો જેમાં અનુપાત છે $3: 2$?

એક નિર્દિષ્ટ અનુપાતને ઉત્પાદન કરવાની પરિસ્થિતિઓ લખવી મજા છે. ઉદાહરણ તરીકે, અનુપાત લખો જે છે $2: 3$.

• ટેબલની પહોળાઈ અને તેની લંબાઈનો અનુપાત છે $2: 3$.
• શીના પાસે 2 મેરું છે અને તેની મિત્ર શબનામની પાસે 3 મેરું છે.

તો, શીના અને શબનામની મેરુંની સંખ્યાનો અનુપાત છે $2: 3$.

આ અનુપાત માટે તમે ક્યારેય કેટલાક અન્ય પરિસ્થિતિઓ લખી શકો છો? તમારા મિત્રો અને 3. મિત્રોને કોઈ અનુપાત આપો અને તેમને પરિસ્થિતિઓ રૂપરેખાંકિત કરવાનું કહો.

રાવી અને રાની એક બિઝનેસ શરૂ કરી અને રાશિ અનુપાતમાં રોકાણ કર્યો છે $2: 3$. એક વર્ષ બાદ કુલ લાભ ₹ હતો $4,00,000$.

રાવી કહ્યું “અમે તેને સમાન રીતે વહેંચીશું”, રાની કહ્યું “હું વધુ મેળવી શકું છું કારણ કે હું વધુ રોકાણ કર્યો છું”.

ત્યારબાદ નક્કી કરવામાં આવ્યું કે લાભ તેમના રોકાણનો અનુપાતમાં વહેંચાય છે.

અહીં, અનુપાત $2: 3$ ના બે પગલાં છે 2

આ પગલાંનો સમ છે $=2+3=5$

આ શું માન્ય છે?

આ માન્ય છે કે જો લાભ ₹ 5 હોય તો રાવી પ્રાપ્ત કરશે ₹ 2 અને રાની પ્રાપ્ત કરશે $₹ 3$. અથવા, અમે કહી શકીએ છીએ કે રાવી 2 ભાગો પ્રાપ્ત કરે છે અને રાની 3 ભાગો પ્રાપ્ત કરે છે કુલ 5 ભાગોમાંથી. અનેમાં, રાવી કુલ લાભનો $\dfrac{2}{5}$ ભાગ પ્રાપ્ત કરશે અને રાની કુલ લાભનો $\dfrac{3}{5}$ ભાગ પ્રાપ્ત કરશે.

જો કુલ લાભ ₹ 500 હોય

તો રાવી પ્રાપ્ત કરશે ₹ $\dfrac{2}{5} \times 500$=₹ $200$

અને રાની પ્રાપ્ત કરશે $\dfrac{3}{5} \times 500$=₹ $300$

હવે, જો લાભ ₹ હોય $4,00,000$ તો તમે દરેકનો ભાગ શોધી શકતા?

રાવીનો ભાગ $\quad$=₹ $\dfrac{2}{5} \times 4,00,000$=₹ $1,60,000$

અને રાનીનો ભાગ =₹ $\dfrac{3}{5} \times 4,00,000$=₹ $2,40,000$

તમે ક્યારેય કેટલાક વસ્તુઓને કેટલાક અનુપાતમાં વહેંચવાની જરૂર હોય તેના ઉદાહરણો વિચારી શકો છો? તેમાંથી ત્રણ ઉદાહરણો રૂપરેખાંકિત કરો અને તમારા મિત્રોને તેમની સમજૂતી કરવાનું કહો.

આપણે હજુ સુધી કેટલાક પ્રશ્નો ઉકેલ્યા છે.

આપણે કરીએ

1. તમારી બેગમાં નોટબુકો અને પુસ્તકોની સંખ્યાનો અનુપાત શોધો.

2. તમારા વર્ગશાળામાં ડેસ્કો અને ચીર્સની સંખ્યાનો અનુપાત શોધો.

3. તમારા વર્ગમાં 12 વર્ષથી વધુ ઉંમરના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વર્ગના વ