10.1 ಪರಿಚಯ

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ ಮುಂತಾದ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆರನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಗಟುಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ನೀವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

10.2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ?

ಚರಾಕ್ಷರ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ಈಗ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು $x, y, l, m, \ldots$ ಮುಂತಾದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವು ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 4, 100, -17, ಇತ್ಯಾದಿ.

ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ $4 x+5,10 y-20$ ನಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡಿದ್ದೇವೆ. $4 x+5$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಮೊದಲು $x$ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕ 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ನಂತರ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕ 5 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಅಂತೆಯೇ, $10 y-20$ ಅನ್ನು ಮೊದಲು $y$ ಅನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ನಂತರ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ 20 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಇತರ ಚರಾಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) $x^{2}$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ಅನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ;

$ x \times x=x^{2} $

$4 \times 4$ ಅನ್ನು $4^{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯುವಂತೆ, ನಾವು $x \times x=x^{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $x$ ವರ್ಗ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.

(ನಂತರ, ನೀವು ‘ಘಾತಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳು’ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಾಗ, $x^{2}$ ಅನ್ನು $x$ ರ 2 ನೇ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದೂ ಓದಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ).

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು $\quad x \times x \times x=x^{3}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $x^{3}$ ಅನ್ನು ‘$x$ ಘನ’ ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ನೀವು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ, $x^{3}$ ಅನ್ನು $x$ ರ 3 ನೇ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದೂ ಓದಬಹುದು.

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ ಎಲ್ಲವೂ $x$ ನಿಂದ ಪಡೆದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ.

(ii) $2 y^{2}$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ

ಇಲ್ಲಿ $y$ ಅನ್ನು $y$ ನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು $y^{2}$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು $y^{2}$ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

(iii) $(3 x^{2}-5)$ ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು $x^{2}$ ಅನ್ನು ಪಡೆದು, ಅದನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ $3 x^{2}$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

$3 x^{2}$ ನಿಂದ, ನಾವು 5 ಅನ್ನು ಕಳೆದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ $3 x^{2}-5$ ಗೆ ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

(iv) $x y$ ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರ $y$ ನೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $x \times y=x y$.

(v) $4 x y+7$ ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲು $x y$ ಅನ್ನು ಪಡೆದು, ಅದನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ $4 x y$ ಅನ್ನು ಪಡೆದು ಮತ್ತು $4 x y$ ಗೆ 7 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪದಗಳು

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಮೇಲೆ ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

$(4 x+5)$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮೊದಲು $4 x$ ಅನ್ನು 4 ಮತ್ತು $x$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದಕ್ಕೆ 5 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ $(3 x^{2}+7 y)$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು $3 x^{2}$ ಅನ್ನು $3, x$ ಮತ್ತು $x$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು $7 y$ ಅನ್ನು 7 ಮತ್ತು $y$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ್ದೇವೆ. $3 x^{2}$ ಮತ್ತು $7 y$ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಅವುಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡು ನಂತರ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಇಂತಹ ಭಾಗಗಳು, ಮೊದಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡು ನಂತರ ಸೇರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $(4 x^{2}-3 x y)$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಇದು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, $4 x^{2}$ ಮತ್ತು $-3 x y$. $4 x^{2}$ ಪದವು 4, $x$ ಮತ್ತು $x$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು (-3xy) ಪದವು (-3), $x$ ಮತ್ತು $y$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $4 x$ ಮತ್ತು 5 ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ $(4 x+5)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವಂತೆ, $4 x^{2}$ ಮತ್ತು ($.-3 x y)$ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ $(4 x^{2}-3 x y)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಏಕೆಂದರೆ $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$.

ಗಮನಿಸಿ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ (-) ಪದದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. $4 x^{2}-3 x y$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪದವನ್ನು $(-3 x y)$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು (3xy) ಎಂದಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪದಗಳನ್ನು ‘ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ’ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಕೇವಲ ‘ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ’ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ ಸಾಕು.

ಒಂದು ಪದದ ಅಪವರ್ತನಗಳು

$(4 x^{2}-3 x y)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು $4 x^{2}$ ಮತ್ತು $-3 x y$ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೇಲೆ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. $4 x^{2}$ ಪದವು 4, $x$ ಮತ್ತು $x$ ನ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ; 4, $x$ ಮತ್ತು $x$ ಗಳು $4 x^{2}$ ಪದದ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಪದವು ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. $-3 x y$ ಪದವು $-3, x$ ಮತ್ತು $y$ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನಾವು ಮರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೊಗಸಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. $(4 x^{2}-3 x y)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಮರವು ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ, ಮರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಪವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪದಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸದಂತೆ ತಡೆಯಲು.

$5 x y+10$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಮರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಅಪವರ್ತನಗಳು ಹೀಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಪವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು $5 x y$ ಅನ್ನು $5 \times x y$ ಎಂದು ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $x y$ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, $x^{3}$ ಒಂದು ಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು $x \times x \times x$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $x^{2} \times x$ ಎಂದಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ, 1 ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಪದಗಳಿವೆ?

ಪದಗಳು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಮರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

2. 4 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂರು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಸಹಗುಣಕಗಳು

ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇತರವು ಬೀಜಗಣಿತದವಾಗಿರಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ). ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಪದದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಹಗುಣಕ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಪದದ ಸಹಗುಣಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಉಳಿದ ಪದದ (ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪದದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ) ಸಹಗುಣಕ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $5 x y, 5$ ನಲ್ಲಿ ಪದದ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ. ಇದು $x y$ ನ ಸಹಗುಣಕವೂ ಆಗಿದೆ. $10 x y z, 10$ ಪದದಲ್ಲಿ $x y z$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ, $-7 x^{2} y^{2},-7$ ಪದದಲ್ಲಿ $x^{2} y^{2}$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಪದದ ಸಹಗುಣಕ +1 ಆಗಿರುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $1 x$ ಅನ್ನು $x ; 1 x^{2} y^{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $x^{2} y^{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಸಹಗುಣಕ (-1) ಅನ್ನು ಕೇವಲ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $(-1) x$ ಅನ್ನು $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $-x^{2} y^{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ‘ಸಹಗುಣಕ’ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು $5 x y, 5$ ಪದದಲ್ಲಿ $x y, x$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ, $5 y$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $y$ $5 x$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. $10 x y^{2}, 10$ ನಲ್ಲಿ $x y^{2}, x$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ, $10 y^{2}$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $y^{2}$ $10 x$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಹಗುಣಕವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಪವರ್ತನ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನ ಅಥವಾ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದು ಉಳಿದ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿ:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

ಪರಿಹಾರ

ಉದಾಹರಣೆ 2

(a) ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ $x$ ನ ಸಹಗುಣಕಗಳು ಯಾವುವು?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ $y$ ನ ಸಹಗುಣಕಗಳು ಯಾವುವು?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

ಪರಿಹಾರ

(a) ಪ್ರತಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು $x$ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆ ಪದದ ಉಳಿದ ಭಾಗವು $x$ ನ ಸಹಗುಣಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(b) ವಿಧಾನವು (a) ರಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇದೆ.

10.4 ಸಮಪದಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಪದಗಳು

ಪದಗಳು ಒಂದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ, ಅವು ಸಮಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪದಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಗ, ಅವು ಅಸಮಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2 x y-3 x+5 x y-4$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, $2 x y$ ಮತ್ತು $5 x y$ ಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. $2 x y$ ನ ಅಪವರ್ತನಗಳು 2, $x$ ಮತ್ತು $y$. $5 x y$ ನ ಅಪವರ್ತನಗಳು 5, $x$ ಮತ್ತು $y$. ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ (ಅಂದರೆ, ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಅಪವರ್ತನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಸಮಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಂಪು ಮಾಡಿ:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸಮಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ $2 x y$ ಮತ್ತು $-3 x$ ಪದಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ಅಸಮಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತೆಯೇ, $2 x y$ ಮತ್ತು 4 ಪದಗಳು ಅಸಮಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಹಾಗೆಯೇ, $-3 x$ ಮತ್ತು 4 ಪದಗಳು ಅಸಮಪದಗಳಾಗಿವೆ.

10.5 ಏಕಪದಗಳು, ದ್ವಿಪದಗಳು, ತ್ರಿಪದಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳು

ಕೇವಲ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಏಕಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಏಕಪದ, ದ್ವಿಪದ ಅಥವಾ ತ್ರಿಪದವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.

ಎರಡು ಅಸಮಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ ದ್ವಿಪದಗಳಾಗಿವೆ. $10 p q$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ದ್ವಿಪದವಲ್ಲ; ಅದು ಏಕಪದವಾಗಿದೆ. $(a+b+5)$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ದ್ವಿಪದವಲ್ಲ. ಅದು ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತ್ರಿಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ $a b+a+b+5$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ತ್ರಿಪದವಲ್ಲ; ಅದು ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಲ್ಲ. $x+y+5 x$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ತ್ರಿಪದವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ $x$ ಮತ್ತು $5 x$ ಪದಗಳು ಸಮಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಏಕಪದ, ದ್ವಿಪದ ಮತ್ತು ತ್ರಿಪದ ಎಲ್ಲವೂ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಕೆಳಗಿನ ಪದಗಳ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಸಮಪದಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುವು ಅಸಮಪದಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಾರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ತಿಳಿಸಿ:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

ಪರಿಹಾರ

ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಪದಗಳು ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸಮ ಪದಗಳೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

(i) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಹಗುಣಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ. ಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿ.

(ii) ಪದಗಳಲ್ಲಿನ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

(iii) ಮುಂದೆ, ಪದಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಚರಾಕ್ಷರದ ಘಾತಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಸಮಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಷಯಗಳು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (1) ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಹಗುಣಕಗಳು ಮತ್ತು (2) ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 10.1

1. ಚರಾಕ್ಷರಗಳು, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ರ