१०.१ परिचय

आपण आधीच $x+3, y-5,4 x+5$, $10 y-5$ यांसारख्या सोप्या बीजगणितीय पदावळींचा परिचय करून घेतला आहे. सहावीत, ही पदावळी कोडी आणि समस्या तयार करण्यात कशी उपयुक्त आहेत हे आपण पाहिले आहे. सोपी समीकरणे या प्रकरणात आपण अनेक पदावळींची उदाहरणेही पाहिली आहेत.

बीजगणितात पदावळी ही एक मध्यवर्ती संकल्पना आहे. हे प्रकरण बीजगणितीय पदावळींना समर्पित आहे. हे प्रकरण तुम्ही अभ्यासल्यावर, बीजगणितीय पदावळी कशा तयार होतात, त्यांची एकत्रित क्रिया कशा करता येतील, त्यांची किंमत कशी काढता येईल आणि त्यांचा उपयोग कसा करता येईल हे तुम्हाला कळेल.

१०.२ पदावळी कशा तयार होतात?

चल म्हणजे काय हे आपल्याला आता चांगले माहीत आहे. चल दर्शवण्यासाठी आपण $x, y, l, m, \ldots$ इ. अक्षरे वापरतो. एका चलाची विविध किंमती असू शकतात. त्याची किंमत निश्चित नसते. दुसरीकडे, स्थिरांकाची किंमत निश्चित असते. स्थिरांकांची उदाहरणे आहेत: 4, 100, -17 इ.

बीजगणितीय पदावळी तयार करण्यासाठी आपण चल आणि स्थिरांक एकत्र करतो. यासाठी आपण बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार या क्रिया वापरतो. आपण आधीच $4 x+5,10 y-20$ सारख्या पदावळींचा सामना केला आहे. $4 x+5$ ही पदावली $x$ या चलापासून प्रथम $x$ ला स्थिरांक 4 ने गुणून आणि नंतर गुणाकारात स्थिरांक 5 मिळवून मिळवली जाते. त्याचप्रमाणे, $10 y-20$ ही पदावली प्रथम $y$ ला 10 ने गुणून आणि नंतर गुणाकारातून 20 वजा करून मिळवली जाते.

वरील पदावळी चलांना स्थिरांकांसोबत एकत्र करून मिळवल्या गेल्या. चलांना स्वतःसोबत किंवा इतर चलांसोबत एकत्र करूनही आपण पदावळी मिळवू शकतो.

खालील पदावळी कशा मिळतात ते पहा:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) $x^{2}$ ही पदावली $x$ या चलाला स्वतःच्याच सोबत गुणून मिळवली जाते;

$ x \times x=x^{2} $

जसे $4 \times 4$ ला $4^{2}$ असे लिहिले जाते, तसेच आपण $x \times x=x^{2}$ लिहितो. याला सामान्यतः $x$ स्क्वेअर असे म्हटले जाते.

(नंतर, जेव्हा तुम्ही ‘घातांक आणि घात’ हे प्रकरण अभ्यासाल, तेव्हा तुम्हाला कळेल की $x^{2}$ हे $x$ चा 2 रा घात असेही वाचता येईल).

त्याच पद्धतीने, आपण $\quad x \times x \times x=x^{3}$ लिहू शकतो.

सामान्यतः, $x^{3}$ हे ‘$x$ क्यूब्ड’ असे वाचले जाते. नंतर, तुम्हाला कळेल की $x^{3}$ हे $x$ चा 3 रा घात असेही वाचता येईल.

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ ह्या सर्व $x$ पासून मिळवलेल्या बीजगणितीय पदावळी आहेत.

(ii) $2 y^{2}$ ही पदावली $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ पासून मिळवली जाते.

येथे $y$ ला $y$ ने गुणून आपल्याला $y^{2}$ मिळते आणि नंतर आपण $y^{2}$ ला स्थिरांक 2 ने गुणतो.

(iii) $(3 x^{2}-5)$ मध्ये आपण प्रथम $x^{2}$ मिळवतो, आणि त्याला 3 ने गुणून $3 x^{2}$ मिळवतो.

$3 x^{2}$ मधून, आपण 5 वजा करून शेवटी $3 x^{2}-5$ वर पोहोचतो.

(iv) $x y$ मध्ये, आपण $x$ या चलाला दुसऱ्या चल $y$ ने गुणतो. अशाप्रकारे, $x \times y=x y$.

(v) $4 x y+7$ मध्ये, आपण प्रथम $x y$ मिळवतो, त्याला 4 ने गुणून $4 x y$ मिळवतो आणि $4 x y$ मध्ये 7 मिळवून पदावली मिळवतो.

प्रयत्न करा

खालील पदावळी कशा मिळतात ते वर्णन करा:

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

१०.३ पदावलीची पदे

वरील भागात आपण पदावळी कशा तयार होतात हे शिकलो, ते आता एका पद्धतशीर स्वरूपात मांडू. यासाठी, पदावलीची पदे आणि त्यांचे अवयव काय आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे.

$(4 x+5)$ ही पदावली विचारात घ्या. ही पदावली तयार करताना, आपण प्रथम $4 x$ हे स्वतंत्रपणे 4 आणि $x$ चा गुणाकार म्हणून तयार केले आणि नंतर त्यात 5 मिळवले. त्याचप्रमाणे $(3 x^{2}+7 y)$ ही पदावली विचारात घ्या. येथे आपण प्रथम $3 x^{2}$ हे स्वतंत्रपणे $3, x$ आणि $x$ चा गुणाकार म्हणून तयार केले. नंतर आपण $7 y$ हे स्वतंत्रपणे 7 आणि $y$ चा गुणाकार म्हणून तयार केले. $3 x^{2}$ आणि $7 y$ स्वतंत्रपणे तयार केल्यानंतर, पदावली मिळवण्यासाठी आपण त्यांची बेरीज केली.

तुम्हाला असे आढळेल की आपण ज्या पदावळींचा सामना करतो, त्यांना नेहमी अशाच पद्धतीने पाहता येते. त्यांचे भाग असतात जे स्वतंत्रपणे तयार होतात आणि नंतर जोडले जातात. पदावलीचे असे भाग जे प्रथम स्वतंत्रपणे तयार होतात आणि नंतर जोडले जातात त्यांना पदे म्हणतात. $(4 x^{2}-3 x y)$ ही पदावली पहा. आपण म्हणतो की यात दोन पदे आहेत, $4 x^{2}$ आणि $-3 x y$. $4 x^{2}$ हे पद 4, $x$ आणि $x$ चा गुणाकार आहे आणि (-3xy) हे पद (-3), $x$ आणि $y$ चा गुणाकार आहे.

पदावली तयार करण्यासाठी पदे जोडली जातात. जसे $4 x$ आणि 5 या पदांची बेरीज करून $(4 x+5)$ ही पदावली तयार होते, तसेच $4 x^{2}$ आणि ($.-3 x y)$ या पदांची बेरीज करून $(4 x^{2}-3 x y)$ ही पदावली मिळते. कारण $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$.

लक्षात ठेवा, वजा चिन्ह (-) पदामध्ये समाविष्ट असते. $4 x^{2}-3 x y$ या पदावलीत, आपण पद $(-3 x y)$ असे घेतले आणि (3xy) असे नाही. म्हणूनच पदावली तयार करण्यासाठी पदे ‘जोडली किंवा वजा केली’ जातात असे म्हणण्याची गरज नाही; फक्त ‘जोडली’ असे म्हणणे पुरेसे आहे.

पदाचे अवयव

वर आपण पाहिले की $(4 x^{2}-3 x y)$ या पदावलीत $4 x^{2}$ आणि $-3 x y$ अशी दोन पदे आहेत. $4 x^{2}$ हे पद 4, $x$ आणि $x$ चा गुणाकार आहे; आपण म्हणतो की 4, $x$ आणि $x$ हे $4 x^{2}$ या पदाचे अवयव आहेत. एक पद हे त्याच्या अवयवांचा गुणाकार असते. $-3 x y$ हे पद $-3, x$ आणि $y$ या अवयवांचा गुणाकार आहे.

पदावलीची पदे आणि पदांचे अवयव आपण वृक्ष आकृतीद्वारे सोयीस्कर आणि सुंदरपणे दर्शवू शकतो. $(4 x^{2}-3 x y)$ या पदावलीसाठीची वृक्ष आकृती शेजारील आकृतीप्रमाणे दर्शविली आहे.

लक्षात ठेवा, वृक्ष आकृतीमध्ये, आपण अवयवांसाठी ठिपकेवार रेषा आणि पदांसाठी सलग रेषा वापरल्या आहेत. हे त्यांची गल्लत होऊ नये म्हणून आहे.

$5 x y+10$ या पदावलीसाठी वृक्ष आकृती काढू.

अवयव असे असतात की त्यांचे पुढे अवयव पाडता येत नाहीत. म्हणून आपण $5 x y$ ला $5 \times x y$ असे लिहित नाही, कारण $x y$ चे पुढे अवयव पाडता येतील. त्याचप्रमाणे, जर $x^{3}$ हे पद असेल, तर ते $x \times x \times x$ असे लिहिले जाईल, $x^{2} \times x$ असे नाही. तसेच, लक्षात ठेवा की 1 हा स्वतंत्र अवयव म्हणून घेतला जात नाही.

प्रयत्न करा

१. खालील पदावल्यांतील पदे कोणती आहेत?

पदे कशी तयार होतात ते दाखवा. प्रत्येक पदावलीसाठी वृक्ष आकृती काढा:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$.

२. प्रत्येकी 4 पदे असलेल्या तीन पदावल्या लिहा.

सहगुणक

पदाचे अवयवांचा गुणाकार म्हणून कसे लिहायचे ते आपण शिकलो आहोत. यापैकी एक अवयव संख्यात्मक असू शकतो आणि इतर बीजगणितीय असू शकतात (म्हणजे त्यात चल असतात). संख्यात्मक अवयवाला पदाचा संख्यात्मक सहगुणक किंवा फक्त सहगुणक म्हणतात. त्याला उर्वरित पदाचा (जो स्पष्टपणे पदाच्या बीजगणितीय अवयवांचा गुणाकार असतो) सहगुणक असेही म्हणतात. अशाप्रकारे $5 x y, 5$ मध्ये हे पदाचा सहगुणक आहे. तो $x y$ चाही सहगुणक आहे. $10 x y z, 10$ या पदात $x y z$ चा सहगुणक आहे, $-7 x^{2} y^{2},-7$ या पदात $x^{2} y^{2}$ चा सहगुणक आहे.

जेव्हा पदाचा सहगुणक +1 असतो, तेव्हा तो सहसा वगळला जातो. उदाहरणार्थ, $1 x$ ला $x ; 1 x^{2} y^{2}$ असे लिहिले जाते, $x^{2} y^{2}$ असे लिहिले जाते आणि असेच. तसेच, सहगुणक (-1) फक्त वजा चिन्हाने दर्शविला जातो. अशाप्रकारे $(-1) x$ ला $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ असे लिहिले जाते, $-x^{2} y^{2}$ असे लिहिले जाते आणि असेच.

प्रयत्न करा

खालील पदावल्यांतील पदांचे सहगुणक ओळखा:

$4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$

कधीकधी, ‘सहगुणक’ हा शब्द अधिक सामान्य अर्थाने वापरला जातो. अशाप्रकारे आपण म्हणतो की $5 x y, 5$ या पदात $x y, x$ चा सहगुणक आहे, $5 y$ चा सहगुणक आहे आणि $y$ हा $5 x$ चा सहगुणक आहे. $10 x y^{2}, 10$ मध्ये $x y^{2}, x$ चा सहगुणक आहे, $10 y^{2}$ चा सहगुणक आहे आणि $y^{2}$ हा $10 x$ चा सहगुणक आहे. अशाप्रकारे, या अधिक सामान्य पद्धतीने, सहगुणक एकतर संख्यात्मक अवयव किंवा बीजगणितीय अवयव किंवा दोन किंवा अधिक अवयवांचा गुणाकार असू शकतो. त्याला उर्वरित अवयवांच्या गुणाकाराचा सहगुणक असे म्हटले जाते.

उदाहरण १ खालील पदावल्यांमध्ये, जी पदे स्थिरांक नाहीत ती ओळखा. त्यांचे संख्यात्मक सहगुणक द्या:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

उकल

उदाहरण २

(a) खालील पदावल्यांमध्ये $x$ चे सहगुणक कोणते आहेत?

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) खालील पदावल्यांमध्ये $y$ चे सहगुणक कोणते आहेत?

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

उकल

(a) प्रत्येक पदावलीत आपण $x$ हा अवयव असलेले पद शोधतो. त्या पदाचा उर्वरित भाग म्हणजे $x$ चा सहगुणक.

(b) पद्धत (a) मधील पद्धतीसारखीच आहे.

१०.४ सजातीय आणि विजातीय पदे

जेव्हा पदांचे बीजगणितीय अवयव सारखे असतात, तेव्हा ती सजातीय पदे असतात. जेव्हा पदांचे बीजगणितीय अवयव वेगवेगळे असतात, तेव्हा ती विजातीय पदे असतात. उदाहरणार्थ, $2 x y-3 x+5 x y-4$ या पदावलीत, $2 x y$ आणि $5 x y$ ही पदे पहा. $2 x y$ चे अवयव 2, $x$ आणि $y$ आहेत. $5 x y$ चे अवयव 5, $x$ आणि $y$ आहेत. अशाप्रकारे त्यांचे बीजगणितीय (म्हणजे ज्यात चल असतात) अवयव सारखेच आहेत आणि

प्रयत्न करा

खालील पदावल्यांमधील सजातीय पदे एकत्र गट करा:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ म्हणून ती सजातीय पदे आहेत. दुसरीकडे $2 x y$ आणि $-3 x$ या पदांचे बीजगणितीय अवयव वेगवेगळे आहेत. ती विजातीय पदे आहेत. त्याचप्रमाणे, $2 x y$ आणि 4 ही पदे विजातीय आहेत. तसेच, $-3 x$ आणि 4 ही पदे विजातीय आहेत.

१०.५ एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी आणि बहुपदी

फक्त एक पद असलेल्या पदावलीला एकपदी म्हणतात; उदाहरणार्थ, $7 x y,-5 m$, $3 z^{2}, 4$ इ.

प्रयत्न करा

खालील पदावल्यांचे एकपदी, द्विपदी किंवा त्रिपदी असे वर्गीकरण करा: $a$, $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$, $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$, $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$.

ज्या पदावलीत दोन विजातीय पदे असतात तिला द्विपदी म्हणतात; उदाहरणार्थ, $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ ही द्विपदी आहेत. $10 p q$ ही पदावली द्विपदी नाही; ती एकपदी आहे. $(a+b+5)$ ही पदावली द्विपदी नाही. त्यात तीन पदे आहेत.

ज्या पदावलीत तीन पदे असतात तिला त्रिपदी म्हणतात; उदाहरणार्थ, $x+y+7, a b+a+b$, $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ या पदावल्या त्रिपदी आहेत. $a b+a+b+5$ ही पदावली मात्र त्रिपदी नाही; त्यात चार पदे आहेत, तीन नाहीत. $x+y+5 x$ ही पदावली त्रिपदी नाही कारण $x$ आणि $5 x$ ही पदे सजातीय आहेत.

सामान्यतः, एक किंवा अधिक पदे असलेल्या पदावलीला बहुपदी म्हणतात. अशाप्रकारे एकपदी, द्विपदी आणि त्रिपदी ह्या सर्व बहुपदी आहेत.

उदाहरण ३ खालील पदांच्या जोड्या सजातीय आहेत की विजातीय आहेत ते कारणांसह सांगा:

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

उकल

खालील सोप्या पायऱ्यांचे अनुसरण केल्यास दिलेली पदे सजातीय आहेत की विजातीय आहेत हे ठरवण्यात मदत होईल:

(i) संख्यात्मक सहगुणकांकडे दुर्लक्ष करा. पदांच्या बीजगणितीय भागावर लक्ष केंद्रित करा.

(ii) पदांतील चल तपासा. ती सारखीच असली पाहिजेत.

(iii) पुढे, पदांतील प्रत्येक चलाचे घात तपासा. ते सारखेच असले पाहिजेत.

लक्षात ठेवा, सजातीय पदे ठरवताना, दोन गोष्टी महत्त्वाच्या नाहीत (1) पदांचे संख्यात्मक सहगुणक आणि (2) पदांमध्ये चलांचा गुणाकार कोणत्या क्रमाने केला आहे.

उदाहरणे १०.१

१. चल, स्थिरांक आणि अंकगणितीय क्रिया वापरून खालील प्रकरणांतील बीजगणितीय पदावल्या मिळवा.

(i) $z$ मधून $y$ ची वजाबाकी.

(ii) $x$ आणि $y$ या संख्यांच्या बेरजेचा अर्धा भाग.

(iii) $z$ या संख्येचा स्वतःशी गुणाकार.

(iv) $p$ आणि $q$ या संख्यांच्या गुणाकाराचा एक चतुर्थांश.

(v) $x$ आणि $y$ या दोन्ही संख्यांचे वर्ग करून त्यांची बेरीज.

(vi) $m$ आणि $n$ या संख्यांच्या गुणाकाराच्या तिप्पट मध्ये 5 मिळवणे.

(vii) $y$ आणि $z$ या संख्यांच्या गुणाकारातून 10 वजा करणे.

(viii) $a$ आणि $b$ या संख्यांच्या बेरजेस त्यांच्या गुणाकारातून वजा करणे.

२. (i) खालील पदावल्यांतील पदे आणि त्यांचे अवयव ओळखा. वृक्ष आकृतीद्वारे पदे आणि अवयव दाखवा.

(a) $x-3$

(b) $1+x+x^{2}$

(c) $y-y^{3}$

(d) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(e) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) खालील पदावल्यांतील पदे आणि अवयव ओळखा:

(a) $-4 x+5$

(b) $-4 x+5 y$

(c) $5 y+3 y^{2}$

(d) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(e) $p q+q$

(f) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(g) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(h) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

३. खालील पदावल्यांतील पदांचे (स्थिरांक व्यतिरिक्त) संख्यात्मक सहगुणक ओळखा:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

४. (a) $x$ असलेली पदे ओळखा आणि $x$ चा सहगुणक द्या.

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(b) $y^{2}$ असलेली पदे ओळखा आणि $y^{2}$ चा सहगुणक द्या.

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

५. एकपदी, द्विपदी आणि त्रिपदी यामध्ये वर्गीकरण करा.

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

६. दिलेली पदांची जोडी सजातीय आहे की विजातीय आहे ते सांगा.

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

७. खालील पदावल्यांमध्ये सजातीय पदे ओळखा:

(a) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(b) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

१०.६ पदावलीची किंमत काढणे

आपल्याला माहीत आहे की बीजगणितीय पदावलीची किंमत त्या पदावलीत असलेल्या चलांच्या किंमतीवर अवलंबून असते. अशा अनेक परिस्थिती असतात ज्यामध्ये आपल्याला पदावलीची किंमत काढण्याची गरज असते, जसे की जेव्हा एखाद्या चलाची विशिष्ट किंमत दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करते की नाही हे तपासायचे असते.

भूमितीतील आणि दैनंदिन गणितातील सूत्रे वापरतानाही आपल्याला पदावल्यांची किंमत काढावी लागते. उदाहरणार्थ, चौरसाचे क्षेत्रफळ $l^{2}$ आहे, जेथे $l$ ही चौरसाच्या बाजूची लांबी आहे. जर $l=5 cm$ असेल, तर क्षेत्रफळ $5^{2} cm^{2}$ किंवा $25 cm^{2}$ आहे; जर बाजू $10 cm$ असेल, तर क्षेत्रफळ $10^{2} cm^{2}$ किंवा $100 cm^{2}$ आहे आणि असेच. पुढील भागात आपण अशी आणखी उदाहरणे पाहू.

उदाहरण ४ $x=2$ साठी खालील पदावल्यांची किंमत काढ