10.1 تعارف

ہم نے پہلے سے ہی ایسی جبری تعبیرات پیش کی ہیں جیسے $x+3, y-5,4 x+5$، $10 y-5$ اور اس کی ذیل. صفحہ چھٹی، ہم نے دیکھا کہ یہ تعبیرات پہیڑوں اور مسائل جانچنے میں کیسے مددگار ہوتے ہیں۔ ہم نے سادہ معادلات کے چھینک میں بھی کچھ تعبیرات کے مثالوں کا ذکر کیا ہے۔

تعبیرات جبر کا مرکزی مفهوم ہیں۔ اس چھینک میں جبری تعبیرات پر توجہ مقرر کی جائے گی۔ جب آپ اس چھینک کو پڑھ لیں گے، تو آپ جان جائیں گے کہ جبری تعبیرات کیسے تشکیل دی جاتی ہیں، ان کو کیسے جوڑا جا سکتا ہے، ان کے قیمتیں کیسے حاصل کی جاتی ہیں اور ان کو کیسے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

10.2 تعبیرات کیسے تشکیل دی جاتی ہیں؟

اب ہم بہت زیادہ خوب جانتے ہیں کہ متغیر کیا ہے۔ ہم متغیرات کی نشاندہی کے لیے حروف $x, y, l, m, \ldots$ وغیرہ استعمال کرتے ہیں۔ متغیر مختلف قیمتیں حاصل کر سکتا ہے۔ اس کی قیمت ثابت نہیں ہوتی۔ دوسری جانب، ثابت کوئی ثابت قیمت رکھتا ہے۔ ثابتوں کے مثال: 4، 100، -17، وغیرہ ہیں۔

ہم متغیرات اور ثابتوں کو جوڑ کر جبری تعبیرات بناتے ہیں۔ اس کے لیے ہم جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عمل استعمال کرتے ہیں۔ ہم نے پہلے ہی ایسی تعبیرات پیش کی ہیں جیسے $4 x+5,10 y-20$۔ تعبیر $4 x+5$ متغیر $x$ سے حاصل ہوتا ہے، پہلے $x$ کو ثابت 4 سے ضرب دیا جاتا ہے اور پھر اس حاصل ضرب میں ثابت 5 شامل کیا جاتا ہے۔ بالمثل، $10 y-20$ متغیر $y$ کو پہلے 10 سے ضرب دینے اور پھر حاصل ضرب سے 20 کو تفریق کرنے سے حاصل ہوتا ہے۔

اوپر دی گئی تعبیرات ثابتوں کے ساتھ متغیرات کو جوڑ کر حاصل ہوئیں۔ ہم متغیرات کو خود میں یا دوسرے متغیرات کے ساتھ بھی جوڑ کر تعبیرات حاصل کر سکتے ہیں۔

دیکھیں کہ درج ذیل تعبیرات کیسے حاصل ہوئیں:

$ x^{2}, 2 y^{2}, 3 x^{2}-5, x y, 4 x y+7 $

(i) تعبیر $x^{2}$ متغیر $x$ کو خود میں ضرب دینے سے حاصل ہوتا ہے؛

$ x \times x=x^{2} $

جیسے $4 \times 4$ کو $4^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے، اسی طرح $x \times x=x^{2}$ کو بھی $x$ کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ اس کو عام طور پر $x$ مربع پڑھا جاتا ہے۔

(پچھلے، جب آپ ‘بلیٹ اور قوت’ کے چھینک پڑھیں گے تو پتہ چل جائے گا کہ $x^{2}$ بھی $x$ کو قوت 2 کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے)۔

اسی طرح، ہم $\quad x \times x \times x=x^{3}$ لکھ سکتے ہیں۔

عام طور پر، $x^{3}$ کو ‘$x$ کو ہے’ پڑھا جاتا ہے۔ پچھلے، آپ پتہ چل جائیں گے کہ $x^{3}$ بھی $x$ کو قوت 3 کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے۔

$x, x^{2}, x^{3}, \ldots$ سبھی جبری تعبیرات $x$ سے حاصل ہوئیں۔

(ii) تعبیر $2 y^{2}$ $y: 2 y^{2}=2 \times y \times y$ سے حاصل ہوتا ہے۔

یہاں متغیر $y$ کو متغیر $y$ سے ضرب دینے سے $y^{2}$ حاصل ہوتا ہے اور پھر $y^{2}$ کو ثابت 2 سے ضرب دیا جاتا ہے۔

(iii) $(3 x^{2}-5)$ میں پہلے $x^{2}$ حاصل کیا جاتا ہے، اور اسے 3 سے ضرب دینے سے $3 x^{2}$ حاصل ہوتا ہے۔

$3 x^{2}$ سے 5 کو تفریق کرنے سے آخر میں $3 x^{2}-5$ حاصل ہوتا ہے۔

(iv) $x y$ میں متغیر $x$ کو دوسرے متغیر $y$ سے ضرب دیا جاتا ہے۔ اس طرح، $x \times y=x y$۔

(v) $4 x y+7$ میں پہلے $x y$ حاصل کیا جاتا ہے، اسے 4 سے ضرب دینے سے $4 x y$ حاصل ہوتا ہے اور $4 x y$ میں 7 شامل کیا جاتا ہے تاکہ تعبیر حاصل ہو سکے۔

کوشش کریں

درج ذیل تعبیرات کیسے حاصل ہوئیں؟

$7 x y+5, x^{2} y, 4 x^{2}-5 x$

10.3 تعبیر کے حصوں

اب ہم اوپر جو کچھ پڑھا ہے کہ تعبیرات کیسے تشکیل دی جاتی ہیں اسے نظامی طور پر دے دیں گے۔ اس کے لیے، ہم تعبیر کے حصوں اور ان کے عوامل کے بارے میں سمجھنا چاہیے۔

تعبیر $(4 x+5)$ پر غور کریں۔ اس تعبیر کی تشکیل میں، ہم پہلے $4 x$ کو 4 اور $x$ کے حاصل ضرب کے طور پر انفراد تشکیل دیتے ہیں اور پھر اس میں 5 شامل کرتے ہیں۔ بالمثل، تعبیر $(3 x^{2}+7 y)$ پر غور کریں۔ یہاں ہم پہلے $3 x^{2}$ کو متغیر $3, x$ اور $x$ کے حاصل ضرب کے طور پر انفراد تشکیل دیتے ہیں۔ پھر ہم $7 y$ کو ثابت 7 اور $y$ کے حاصل ضرب کے طور پر انفراد تشکیل دیتے ہیں۔ $3 x^{2}$ اور $7 y$ کو انفراد تشکیل دے کر، ہم انہیں جمع کرتے ہیں تاکہ تعبیر حاصل ہو سکے۔

آپ پاتے ہیں کہ ہمارے سامنے آنے والے تعبیرات ہمیشہ یوں دیکھے جا سکتے ہیں۔ ان میں ایسے حصوں ہوتے ہیں جو انفراد تشکیل دیے جاتے ہیں اور پھر جمع کیے جاتے ہیں۔ ایسے تعبیر کے حصوں جو پہلے انفراد تشکیل دیے جاتے ہیں اور پھر جمع کیے جاتے ہیں اسے حصوں کہا جاتا ہے۔ تعبیر $(4 x^{2}-3 x y)$ پر غور کریں۔ ہم کہتے ہیں کہ اس میں دو حصوں ہیں، $4 x^{2}$ اور $-3 x y$۔ حصہ $4 x^{2}$ میں 4، $x$ اور $x$ کا حاصل ضرب ہے، اور حصہ (-3xy) میں (-3)، $x$ اور $y$ کا حاصل ضرب ہے۔

حصوں کو تعبیر بنانے کے لیے جمع کیا جاتا ہے۔ جیسے حصوں $4 x$ اور 5 کو تعبیر $(4 x+5)$ بنانے کے لیے جمع کیا جاتا ہے، اسی طرح حصوں $4 x^{2}$ اور ($.-3 x y)$ کو تعبیر $(4 x^{2}-3 x y)$ حاصل کرنے کے لیے جمع کیا جاتا ہے۔ یہ وجہ سے ہے کہ $4 x^{2}+(-3 x y)=4 x^{2}-3 x y$۔

نوٹ، تفریق کا علامت (-) حصے میں شامل ہے۔ تعبیر $4 x^{2}-3 x y$ میں، ہم حصہ کو $(-3 x y)$ کے طور پر رکھتے ہیں اور نہ کہ (3xy) کے طور پر۔ اس لیے ہم تعبیر بنانے میں ‘جمع یا تفریق کیا جاتا ہے’ کہنے کی ضرورت نہیں؛ صرف ‘جمع’ کافی ہے۔

حصے کے عوامل

ہم نے اوپر دیکھا کہ تعبیر $(4 x^{2}-3 x y)$ میں دو حصوں $4 x^{2}$ اور $-3 x y$ ہیں۔ حصہ $4 x^{2}$ میں 4، $x$ اور $x$ کا حاصل ضرب ہے؛ ہم کہتے ہیں کہ 4، $x$ اور $x$ حصہ $4 x^{2}$ کے عوامل ہیں۔ ایک حصہ اس کے عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر ہوتا ہے۔ حصہ $-3 x y$ میں عوامل $-3, x$ اور $y$ کا حاصل ضرب ہے۔

ہم تعبیر کے حصوں اور ان حصوں کے عوامل کو آسانی سے اور زیباترین طریقے سے ایک ڈریم ڈائریکٹ میں تجزیہ کر سکتے ہیں۔ تعبیر $(4 x^{2}-3 x y)$ کا ڈریم درج ذیل تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

نوٹ، ڈریم ڈائریکٹ میں، ہم عوامل کے لیے ڈاٹڈ لائن استعمال کرتے ہیں اور حصوں کے لیے مسلسل لائن استعمال کرتے ہیں۔ اس کے لیے کہ ان کو ملا نہ ہو۔

تعبیر $5 x y+10$ کے لیے ایک ڈریم ڈائریکٹ رسم کریں۔

عوامل ایسی ہوتے ہیں جنہیں مزید تجزیہ نہیں کیا جا سکتا۔ اس لیے ہم $5 x y$ کو $5 \times x y$ کے طور پر نہیں لکھتے، کیونکہ $x y$ کو مزید تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ بالمثل، $x^{3}$ ایک حصہ تھا، تو اسے $x \times x \times x$ کے طور پر لکھا جاتا ہے اور نہ کہ $x^{2} \times x$ کے طور پر۔ وفاقِ ذہن بھی یاد رکھیں کہ 1 کو انفراد عامل کے طور پر رکھا نہیں جاتا۔

کوشش کریں

1. درج ذیل تعبیرات میں حصوں کیا ہیں؟

حصوں کو کیسے تشکیل دیے جاتے ہیں؟ ہر تعبیر کے لیے ایک ڈریم ڈائریکٹ رسم کریں:

$8 y+3 x^{2}, 7 m n-4,2 x^{2} y$۔

2. ہر ایک کو چار حصووں والی تعبیر لکھیں۔

معاملہ

ہم نے جانا ہے کہ ایک حصہ کو عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر کیسے لکھا جا سکتا ہے۔ ان عوامل میں سے ایک ممکنہ طور پر عددی ہو سکتا ہے اور دوسرے جبری (یعنی وہ جنہیں متغیرات شامل ہوتے ہیں)۔ عددی عامل کو عددی معاملہ کہا جاتا ہے یا صرف معاملہ کہا جاتا ہے۔ اسے اس حصے کے باقی حصوں کا معاملہ بھی کہا جاتا ہے (جو واضح طور پر حصے کے جبری عوامل کے حاصل ضرب ہوتا ہے)۔ اس طرح $5 x y, 5$ میں معاملہ ہے۔ اسے $x y$ کا معاملہ بھی کہا جاتا ہے۔ حصہ $10 x y z, 10$ میں $x y z$ کا معاملہ ہے، حصہ $-7 x^{2} y^{2},-7$ میں $x^{2} y^{2}$ کا معاملہ ہے۔

جب ایک حصے کا معاملہ +1 ہو، تو اسے عام طور پر نظر انداز کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $1 x$ کو $x ; 1 x^{2} y^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے، $x^{2} y^{2}$ کو بھی $(-1) x$ کے طور پر لکھا جاتا ہے اور اسی طرح۔ وفاقِ ذہن بھی یاد رکھیں کہ معاملہ (-1) کو صرف تفریق کی علامت (-) سے نشانی کی جاتی ہے۔ اس طرح $-x ;(-1) x^{2} y^{2}$ کو $-x^{2} y^{2}$ کے طور پر لکھا جاتا ہے، $4 x-3 y, a+b+5,2 y+5,2 x y$ کو بھی $5 x y, 5$ کے طور پر لکھا جاتا ہے اور اسی طرح۔

کوشش کریں

درج ذیل تعبیرات کے حصوں کے معاملات کی شناخت کریں:

$x y, x$

کبھی کبھار، ‘معاملہ’ کے لفظ کو مزید عام طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ اس طرح ہم کہتے ہیں کہ حصہ $5 y$ میں $y$ معاملہ ہے، $5 x$ معاملہ ہے اور $10 x y^{2}, 10$ معاملہ ہے۔ حصہ $x y^{2}, x$ میں $10 y^{2}$ معاملہ ہے، $y^{2}$ معاملہ ہے اور $10 x$ معاملہ ہے۔ اس طرح، اس مزید عام طریقے سے، ایک معاملہ ممکنہ طور پر ایک عددی عامل یا ایک جبری عامل یا دو یا زیادہ عوامل کے حاصل ضرب ہو سکتا ہے۔ اسے باقی عوامل کے حاصل ضرب کا معاملہ کہا جاتا ہے۔

مثال 1 درج ذیل تعبیرات میں حصوں کی شناخت کریں جو ثابت نہیں ہیں۔ ان کے عددی معاملات دے دیں:

$ x y+4,13-y^{2}, 13-y+5 y^{2}, 4 p^{2} q-3 p q^{2}+5 $

حل

مثال 2

(a) درج ذیل تعبیرات میں $x$ کے معاملات کیا ہیں؟

$ 4 x-3 y, 8-x+y, y^{2} x-y, 2 z-5 x z $

(b) درج ذیل تعبیرات میں $y$ کے معاملات کیا ہیں؟

$ 4 x-3 y, 8+y z, y z^{2}+5, m y+m $

حل

(a) ہر تعبیر میں ہم $x$ کے عامل کے ساتھ حصہ تلاش کرتے ہیں۔ اس حصے کا باقی حصہ $x$ کا معاملہ ہے۔

(b) اس طرح (a) میں اسی طرح کا عمل کیا جاتا ہے۔

10.4 مشابہے اور نامشابہے حصوں

جب حصوں میں ایک جیسے جبری عوامل ہوتے ہیں، تو وہ مشابہے حصوں کہلاتے ہیں۔ جب حصوں میں مختلف جبری عوامل ہوتے ہیں، تو وہ نامشابہے حصوں کہلاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، تعبیر $2 x y-3 x+5 x y-4$ میں حصوں $2 x y$ اور $5 x y$ پر غور کریں۔ حصہ $2 x y$ کے عوامل 2، $x$ اور $y$ ہیں۔ حصہ $5 x y$ کے عوامل 5، $x$ اور $y$ ہیں۔ اس طرح ان کے جبری (یعنی وہ جو متغیرات شامل ہوتے ہیں) عوامل ایک جیسے ہیں اور

کوشش کریں

درج ذیل میں سے مشابہے حصوں کو ایک ساتھ جمع کریں:

$12 x, 12,-25 x,-25,-25 y, 1, x, 12 y, y$ اس لیے وہ مشابہے حصوں ہیں۔ دوسری جانب، حصوں $2 x y$ اور $-3 x$ میں مختلف جبری عوامل ہیں۔ وہ نامشابہے حصوں ہیں۔ بالمثل، حصوں $2 x y$ اور 4 نامشابہے حصوں ہیں۔ اور یقیناً، حصوں $-3 x$ اور 4 نامشابہے حصوں ہیں۔

10.5 ایک حصہ والی، دو حصووں والی، تین حصوں والی اور چند حصوں والی تعبیرات

صرف ایک حصہ والی تعبیر کو ایک حصہ والی تعبیر کہتے ہیں؛ مثال کے طور پر، $7 x y,-5 m$، $3 z^{2}, 4$ وغیرہ۔

کوشش کریں

درج ذیل تعبیرات کی شناخت کریں کہ وہ ایک حصہ والی، دو حصووں والی یا تین حصوں والی تعبیر ہیں: $a$، $a+b, a b+a+b, a b+a$ $+b-5, x y, x y+5$، $5 x^{2}-x+2,4 p q-3 q+5 p$، $7,4 m-7 n+10,4 m n+7$۔

ایک تعبیر جو دو نامشابہے حصوں شامل کرتا ہے اسے دو حصووں والی تعبیر کہتے ہیں؛ مثال کے طور پر، $x+y, m-5, m n+4 m, a^{2}-b^{2}$ دو حصووں والی تعبیر ہیں۔ تعبیر $10 p q$ دو حصووں والی تعبیر نہیں ہے؛ وہ ایک حصہ والی تعبیر ہے۔ تعبیر $(a+b+5)$ دو حصووں والی تعبیر نہیں ہے۔ وہ تین حصوں شامل کرتا ہے۔

ایک تعبیر جو تین حصوں شامل کرتا ہے اسے تین حصوں والی تعبیر کہتے ہیں؛ مثال کے طور پر، تعبیرات $x+y+7, a b+a+b$، $3 x^{2}-5 x+2, m+n+10$ تین حصوں والی تعبیر ہیں۔ تعبیر $a b+a+b+5$ اماً تین حصوں والی تعبیر نہیں ہے؛ وہ چار حصوں شامل کرتا ہے اور نہ ہی تین۔ تعبیر $x+y+5 x$ تین حصوں والی تعبیر نہیں ہے کیونکہ حصوں $x$ اور $5 x$ مشابہے حصوں ہیں۔

عام طور پر، ایک یا زیادہ حصوں والی تعبیر کو چند حصوں والی تعبیر کہتے ہیں۔ اس طرح، ایک حصہ والی، دو حصووں والی اور تین حصوں والی تعبیر سبھی چند حصوں والی تعبیر ہیں۔

مثال 3 درج ذیل زوجوں میں سے کون سے مشابہے حصوں کے زوج ہیں اور کون سے نامشابہے حصوں کے زوج ہیں؟

(i) $7 x, 12 y$

(ii) $15 x,-21 x$

(iii) $-4 a b, 7 b a$

(iv) $3 x y, 3 x$

(v) $6 x y^{2}, 9 x^{2} y$

(vi) $p q^{2},-4 p q^{2}$

(vii) $m n^{2}, 10 m n$

حل

دیے گئے حصوں کو مشابہے یا نامشابہے کہنے کے لیے آپ کو چھ سادے مراحل مددگار ہوں گی:

(i) عددی معاملات کو نظر انداز کریں۔ حصوں کے جبری حصے پر توجہ دیں۔

(ii) حصوں میں متغیرات کی شناخت کریں۔ وہ ایک جیسے ہونی چاہیں۔

(iii) پھر ہر حصے میں ہر متغیر کے قوت کی شناخت کریں۔ وہ ایک جیسے ہونی چاہیں۔

مشابہے حصوں کے جائزے میں دو چیزیں نہیں مطلوبہ (1) حصوں کے عددی معاملات اور (2) حصوں میں متغیرات کے ضرب کے ترتیب۔

تمرین 10.1

1. درج ذیل صورتوں میں جبری تعبیرات حاصل کریں جس میں متغیرات، ثابت اور حسابی عمل استعمال کیے جاتے ہیں۔

(i) $z$ سے $y$ کا تفریق۔

(ii) عددیوں $x$ اور $y$ کے جمع کا دو گول۔

(iii) عدد $z$ کو خود میں ضرب دینا۔

(iv) عددیوں $p$ اور $q$ کے حاصل ضرب کا چوتھا حصہ۔

(v) عددیں $x$ اور $y$ کو مربع کر کے جمع کیا۔

(vi) عدد 5 عددیوں $m$ اور $n$ کے حاصل ضرب کے ساتھ تین بار شامل کیا۔

(vii) عددیں $y$ اور $z$ کے حاصل ضرب کو 10 سے تفریق کیا۔

(viii) عددیں $a$ اور $b$ کے جمع کو ان کے حاصل ضرب سے تفریق کیا۔

2. (i) درج ذیل تعبیرات میں حصوں اور ان کے عوامل کی شناخت کریں۔ حصوں اور ان کے عوامل کو ڈریم ڈائریکٹ میں دکھائیں۔

(a) $x-3$

(b) $1+x+x^{2}$

(c) $y-y^{3}$

(d) $5 x y^{2}+7 x^{2} y$

(e) $-a b+2 b^{2}-3 a^{2}$

(ii) درج ذیل تعبیرات میں حصوں اور ان کے عوامل کی شناخت کریں:

(a) $-4 x+5$

(b) $-4 x+5 y$

(c) $5 y+3 y^{2}$

(d) $x y+2 x^{2} y^{2}$

(e) $p q+q$

(f) $1.2 a b-2.4 b+3.6 a$

(g) $\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}$

(h) $0.1 p^{2}+0.2 q^{2}$

3. درج ذیل تعبیرات میں حصوں (ثابت نہ ہونے والے) کے عددی معاملات کی شناخت کریں:

(i) $5-3 t^{2}$

(ii) $1+t+t^{2}+t^{3}$

(iii) $x+2 x y+3 y$

(iv) $100 m+1000 n$

(v) $-p^{2} q^{2}+7 p q$

(vi) $1.2 a+0.8 b$

(vii) $3.14 r^{2}$

(viii) $2(l+b)$

(ix) $0.1 y+0.01 y^{2}$

4. (a) حصوں کی شناخت کریں جو $x$ شامل کرتے ہیں اور $x$ کا معاملہ دے دیں۔

(i) $y^{2} x+y$

(ii) $13 y^{2}-8 y x$

(iii) $x+y+2$

(iv) $5+z+z x$

(v) $1+x+x y$

(vi) $12 x y^{2}+25$

(vii) $7 x+x y^{2}$

(b) حصوں کی شناخت کریں جو $y^{2}$ شامل کرتے ہیں اور $y^{2}$ کا معاملہ دے دیں۔

(i) $8-x y^{2}$

(ii) $5 y^{2}+7 x$

(iii) $2 x^{2} y-15 x y^{2}+7 y^{2}$

5. ان کی شناخت کریں کہ وہ ایک حصہ والی، دو حصووں والی یا تین حصوں والی تعبیر ہیں۔

(i) $4 y-7 z$

(ii) $y^{2}$

(iii) $x+y-x y$

(iv) 100

(v) $a b-a-b$

(vi) $5-3 t$

(vii) $4 p^{2} q-4 p q^{2}$

(viii) $7 m n$

(ix) $z^{2}-3 z+8$

(x) $a^{2}+b^{2}$

(xi) $z^{2}+z$

(xii) $1+x+x^{2}$

6. دیے گئے زوج حصوں کو مشابہے یا نامشابہے کہیں۔

(i) 1,100

(ii) $-7 x, \frac{5}{2} x$

(iii) $-29 x,-29 y$

(iv) $14 x y, 42 y x$

(v) $4 m^{2} p, 4 m p^{2}$

(vi) $12 x z, 12 x^{2} z^{2}$

7. درج ذیل میں مشابہے حصوں کی شناخت کریں:

(a) $-x y^{2},-4 y x^{2}, 8 x^{2}, 2 x y^{2}, 7 y,-11 x^{2},-100 x,-11 y x, 20 x^{2} y$, $-6 x^{2}, y, 2 x y, 3 x$

(b) $10 p q, 7 p, 8 q,-p^{2} q^{2},-7 q p,-100 q,-23,12 q^{2} p^{2},-5 p^{2}, 41,2405 p, 78 q p$, $13 p^{2} q, q p^{2}, 701 p^{2}$

10.6 ایک تعبیر کی قیمت حاصل کرنا

ہم جانتے ہیں کہ جبری تعبیر کی قیمت اس تعبیر کے متغیرات کی قیمتوں پر منحصر ہے۔ ہمارے پاس تعبیر کی قیمت حاصل کرنے کی کئی صورتیں ہیں، جیسے جب ہم خواہیں کہ ایک معین متغیر کی قیمت دیے گئے معادلے کو مطابقت دیتی ہو یا نہیں۔

ہم تعبیر کی قیمتیں حاصل کرتے ہیں، اگرچہ ہم جغرافیا اور روزمرہ کی ریاضی کے فارمولوں کا استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مربع کا رقبہ $l^{2}$ ہے، جہاں $l$ مربع کے ایک سمت کی لمبائی ہے۔ $l=5 cm$۔ رقبہ $5^{2} cm^{2}$ یا $25 cm^{2}$ ہے؛ اگر سمت $10 cm$ ہو، تو رقبہ $10^{2} cm^{2}$ یا $100 cm^{2}$ ہے اور اسی طرح۔ ہم اگلے سیکشن میں ایسے اور بھی مثالیں دیکھیں گے۔

مثال 4 $x=2$ کے لیے درج ذیل تعبیرات کی قیمتیں حاصل کریں۔

(i) $x+4$

(ii) $4 x-3$

(iii) $19-5 x^{2}$

(iv) $100-10 x^{3}$

حل

$x=2$

(i) $x+4$ میں، ہم $x+4$ کی قیمت حاصل کرتے ہیں، یعنی

$x+4=2+4=6$

(ii) $4 x-3$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$4 x-3=(4 \times 2)-3=8-3=5$

(iii) $19-5 x^{2}$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$ 19-5 x^{2}=19-(5 \times 2^{2})=19-(5 \times 4)=19-20=-1 $

(iv) $100-10 x^{3}$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} & 100-10 x^{3}=100-(10 \times 2^{3})=100-(10 \times 8)(\text{ نوٹ } 2^{3}=8) \\ & =100-80=20 \end{aligned} $

مثال 5 $n=-2$ کے لیے درج ذیل تعبیرات کی قیمت حاصل کریں۔

(i) $5 n-2$

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$

(iii) $n^{3}+5 n^{2}+5 n-2$

حل

(i) $n=-2$ کی قیمت شامل کرنے سے $5 n-2$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں،

$ 5(-2)-2=-10-2=-12 $

(ii) $5 n^{2}+5 n-2$ میں، ہم ملاتے ہیں کہ $n=-2,5 n-2=-12$

اور $5 n^{2}=5 \times(-2)^{2}=5 \times 4=20 \quad$ [کیونکہ $.(-2)^{2}=4]$

جمع کرنے سے،

$ 5 n^{2}+5 n-2=20-12=8 $

(iii) اب، $n=-2$ کے لیے،

$ \begin{aligned} & 5 n^{2}+5 n-2=8 \text{ اور } \\ & n^{3}=(-2)^{3}=(-2) \times(-2) \times(-2)=-8 \end{aligned} $

جمع کرنے سے،

$ n^{3}+5 n^{2}+5 n-2=-8+8=0 $

اب ہم دو متغیرات والے تعبیرات پر غور کریں گے، مثال کے طور پر، $x+y, x y$۔ دو متغیرات والے تعبیر کی عددی قیمت حاصل کرنے کے لیے، ہم دونوں متغیرات کی قیمتیں دے دینے ہیں۔ مثال کے طور پر، $(x+y)$ کی قیمت، $x=3$ اور $y=5$ کے لیے، $3+5=8$ ہے۔

مثال 6 $a=3, b=2$ کے لیے درج ذیل تعبیرات کی قیمت حاصل کریں۔

(i) $a+b$

(ii) $7 a-4 b$

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$

(iv) $a^{3}-b^{3}$

حل

$a=3$ اور $b=2$ کو شامل کرنے سے

(i) $a+b$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$a+b=3+2=5$

(ii) $7 a-4 b$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$7 a-4 b=7 \times 3-4 \times 2=21-8=13$۔

(iii) $a^{2}+2 a b+b^{2}$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$a^{2}+2 a b+b^{2}=3^{2}+2 \times 3 \times 2+2^{2}=9+2 \times 6+4=9+12+4=25$

(iv) $a^{3}-b^{3}$ میں، ہم حاصل کرتے ہیں

$a^{3}-b^{3}=3^{3}-2^{3}=3 \times 3 \times 3-2 \times 2 \times 2=9 \times 3-4 \times 2=27-8=19$

تمرین 10.2

1. $m=2$ ہو تو قیمت حاصل کریں:

(i) $m-2$

(ii) $3 m-5$

(iii) $9-5 m$

(iv) $3 m^{2}-2 m-7$

(v) $\frac{5 m}{2} 4$

2. $p=-2$ ہو تو قیمت حاصل کریں:

(i) $4 p+7$

(ii) $-3 p^{2}+4 p+7$

(iii) $-2 p^{3}-3 p^{2}+4 p+7$

3. $x=-1$ ہو تو درج ذیل تعبیرات کی قیمت حاصل کریں:

(i) $2 x-7$

(ii) $-x+2$

(iii) $x^{2}+2 x+1$

(iv) $2 x^{2}-x-2$

4. $a=2, b=-2$ ہو تو قیمت حاصل کریں:

(i) $a^{2}+b^{2}$

(ii) $a^{2}+a b+b^{2}$

(iii) $a^{2}-b^{2}$

5. $a=0, b=-1$ ہو تو دیے گئے تعبیرات کی قیمت حاصل کریں:

(i) $2 a+2 b$

(ii) $2 a^{2}+b^{2}+1$

(iii) $2 a^{2} b+2 a b^{2}+a b$

(iv) $a^{2}+a b+2$

6. تعبیرات کو آسان بنائیں اور $x$ کے لیے قیمت حاصل کریں جو 2 ہے

(i) $x+7+4(x-5)$

(ii) $3(x+2)+5 x-7$

(iii) $6 x+5(x-2)$

(iv) $4(2 x-1)+3 x+11$

7. ایسی تعبیرات کو آسان بنائیں اور ان کی قیمتیں حاصل کریں جب $x=3, a=-1, b=-2$۔

(i) $3 x-5-x+9$

(ii) $2-8 x+4 x+4$

(iii) $3 a+5-8 a+1$

(iv) $10-3 b-4-5 b$

(v) $2 a-2 b-4-5+a$

8. (i) $z=10$ ہو تو $z^{3}-3(z-10)$ کی قیمت حاصل کریں۔

(ii) $p=-10$ ہو تو $p^{2}-2 p-100$ کی قیمت حاصل کریں

9. $a$ کی قیمت کیا ہو گی اگر $2 x^{2}+x-a$ کی قیمت 5 ہو جبکہ $x=0$؟

10. تعبیر کو آسان بنائیں اور $a=5$ اور $b=-3$ ہونے پر اس کی قیمت حاصل کریں۔

$ 2(a^{2}+a b)+3-a b $

ہم نے کیا بات کی؟

1. جبری تعبیرات متغیرات اور ثابت سے تشکیل دی جاتی ہیں۔ ہم متغیرات اور ثابتوں پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عمل استعمال کرتے ہیں تاکہ تعبیرات بنائی جاسکیں۔ مثال کے طور پر، تعبیر $4 x y+7$ متغیرات $x$ اور $y$ اور ثابتیں 4 اور 7 سے تشکیل دیا جاتا ہے۔ ثابت 4 اور متغیرات $x$ اور $y$ کو ضرب دینے سے حاصل ضرب $4 x y$ حاصل ہوتا ہے اور اس حاصل ضرب میں ثابت 7 شامل کیا جاتا ہے تاکہ تعبیر حاصل ہو سکے۔

2. تعبیرات حصوں سے بنی ہوتی ہیں۔ حصوں کو جمع کیا جاتا ہے تاکہ تعبیر بن سکے۔ مثال کے طور پر، حصوں $4 x y$ اور 7 کا جمع تعبیر $4 x y+7$ حاصل کرتا ہے۔

3. ایک حصہ عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر ہوتا ہے۔ تعبیر $4 x y+7$ میں حصہ $4 x y$ میں عوامل $x, y$ اور 4 کا حاصل ضرب ہے۔ متغیرات شامل عوامل کو جبری عوامل کہا جاتا ہے۔

4. معاملہ حصے میں عددی عامل ہے۔ کبھی کبھار، ایک حصہ میں کوئی بھی عامل کو اس حصے کے باقی حصوں کا معاملہ کہا جاتا ہے۔

5. ایک یا زیادہ حصوں والی کوئی بھی تعبیر کو چند حصوں والی تعبیر کہتے ہیں۔ خاص طور پر، ایک حصہ والی تعبیر کو ایک حصہ والی تعبیر کہتے ہیں؛ دو حصوں والی تعبیر کو دو حصووں والی تعبیر کہتے ہیں؛ اور تین حصوں والی تعبیر کو تین حصوں والی تعبیر کہتے ہیں۔

6. جب حصوں میں ایک جیسے جبری عوامل ہوتے ہیں، تو وہ مشابہے حصو�