2.1 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

ನಿಮಗೆ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು ಉದ್ದ $\times$ ಅಗಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $7 cm$ ಮತ್ತು $4 cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $7 \times 4=28 cm^{2}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವು ಕ್ರಮವಾಗಿ $7 \frac{1}{2} cm$ ಮತ್ತು $3 \frac{1}{2} cm$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು? ನೀವು ಅದು $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವಿರಿ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\frac{15}{2}$

ಮತ್ತು $\frac{7}{2}$ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ನಾವು ಈಗ ಅದನ್ನು ಕಲಿಯೋಣ.

2.1.1 ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು

ಚಿತ್ರ 2.1

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 2.1). ಪ್ರತಿ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗವು ಒಂದು ವೃತ್ತದ $\frac{1}{4}$ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಷ್ಟನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ? ಅವು $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಚಿತ್ರ 2.2 ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 2.2 ರಲ್ಲಿನ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗವು ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು ಒಂದು ವೃತ್ತದ $\frac{2}{4}$ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.2

ಚಿತ್ರ 2.1 ರಲ್ಲಿನ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದು ಚಿತ್ರ 2.2 ರಲ್ಲಿನ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ಚಿತ್ರ 2.3 ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 2.3

ಅಥವಾ: $ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

ಈಗ ಈ ಚಿತ್ರವು ಏನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ? (ಚಿತ್ರ 2.4)

ಚಿತ್ರ 2.4

ಮತ್ತು ಇದು? (ಚಿತ್ರ 2.5)

ಚಿತ್ರ 2.5

ಈಗ ನಾವು $3 \times \frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ನಮಗೆ ಇದಿದೆ

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಇದಿದೆ

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

ಆದ್ದರಿಂದ: $ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

ಅದೇ ರೀತಿ: $ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಅಂದರೆ, $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ ಮತ್ತು $\frac{3}{5}$ ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿದ್ದವು.

ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೂ ಸಹ ನಮಗೆ ಇದೆ,

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಅಥವಾ ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಲು, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: (a) $\frac{2}{7} \times 3$

(b) $\frac{9}{7} \times 6$

(c) $3 \times \frac{1}{8}$

(d) $\frac{13}{11} \times 6$

ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

2. ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ಮೊದಲು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ನಂತರ ಗುಣಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$.

ಅದೇ ರೀತಿ, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

‘ಆಫ್’ ಆಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ

ಈ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 2.6)

ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಾಗಿವೆ.

ಪ್ರತಿ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗವು 1 ರ $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ 2 ರ $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

2 ಮಬ್ಬಾದ $\frac{1}{2}$ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಇದು 1 ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 2 ರ $\frac{1}{2}$ 1 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು $\frac{1}{2} \times 2=1$ ಎಂದೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

ಚಿತ್ರ 2.6

ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚೌಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (ಚಿತ್ರ 2.7).

ಪ್ರತಿ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗವು 1 ರ $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗಗಳು 3 ರ $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ.

3 ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಇದು $1 \frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $\frac{3}{2}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, 3 ರ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$.

ಚಿತ್ರ 2.7

ಹೀಗಾಗಿ, $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$.

ಆದ್ದರಿಂದ ‘ಆಫ್’ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಫರೀದಾ ಬಳಿ 20 ಗೋಲಿಗಳಿವೆ. ರೇಷ್ಮಾ ಬಳಿ ಫರೀದಾ ಬಳಿ ಇರುವ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ $\frac{1}{5}$ ಭಾಗವಿದೆ. ರೇಷ್ಮಾ ಬಳಿ ಎಷ್ಟು ಗೋಲಿಗಳಿವೆ? ‘ಆಫ್’ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ, ರೇಷ್ಮಾ ಬಳಿ $\frac{1}{5} \times 20=4$ ಗೋಲಿಗಳಿವೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ, ನಮಗೆ 16 ರ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$ ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ, (i) $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ $10 ?$, (ii) $\frac{1}{4}$ ಆಫ್ $16 ?$, (iii) $\frac{2}{5}$ ಆಫ್ $25 ?$ ಎಂದರೇನು?

ಉದಾಹರಣೆ 1 40 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ $\frac{1}{5}$ ಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ, $\frac{2}{5}$ ಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಣಿತ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಜ್ಞಾನ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ.

(i) ಎಷ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ?

(ii) ಎಷ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಣಿತ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ?

(iii) ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಜ್ಞಾನ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ?

ಪರಿಹಾರ

ತರಗತಿಯ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=40$.

(i) ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ $\frac{1}{5}$ ಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=\frac{1}{5}$ ಆಫ್ $40=\frac{1}{5} \times 40=8$.

(ii) ನೀವೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

(iii) ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=8+16=24$. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಜ್ಞಾನ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=40-24=16$.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿ $\frac{16}{40}$ ಆಗಿದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 2.1

1. ಯಾವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು (a) ನಿಂದ (d) ವರೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

(d)

2. ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಗಳು (a) ನಿಂದ (c) ವರೆಗೆ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿ:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

3. ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

4. ಮಬ್ಬು ಮಾಡಿ: (i) ಪೆಟ್ಟಿಗೆ (a) ರಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ $\frac{1}{2}$ ಭಾಗ (ii) ಪೆಟ್ಟಿಗೆ (b) ರಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ $\frac{2}{3}$ ಭಾಗ

(iii) ಪೆಟ್ಟಿಗೆ (c) ರಲ್ಲಿನ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ $\frac{3}{5}$ ಭಾಗ.

(a)

(b)

(c)

5. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(a) $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ (i) 24 (ii) 46

(b) $\frac{2}{3}$ ಆಫ್ (i) 18 (ii) 27

(c) $\frac{3}{4}$ ಆಫ್ (i) 16 (ii) 36

(d) $\frac{4}{5}$ ಆಫ್ (i) 20 (ii) 35

6. ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

(a) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(b) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(c) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(d) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(e) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(f) $3 \frac{2}{5} \times 8$

7. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: (a) $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{8}$ ಆಫ್ (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

8. ವಿದ್ಯಾ ಮತ್ತು ಪ್ರತಾಪ್ ಪಿಕ್ನಿಕ್ಗೆ ಹೋದರು. ಅವರ ತಾಯಿ ಅವರಿಗೆ 5 ಲೀಟರ್ ನೀರು ಇರುವ ನೀರಿನ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ವಿದ್ಯಾ ನೀರಿನ $\frac{2}{5}$ ಭಾಗವನ್ನು ಸೇವಿಸಿದಳು. ಪ್ರತಾಪ್ ಉಳಿದ ನೀರನ್ನು ಸೇವಿಸಿದನು.

(i) ವಿದ್ಯಾ ಎಷ್ಟು ನೀರನ್ನು ಕುಡಿದಳು?

(ii) ಒಟ್ಟು ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಾಪ್ ಕುಡಿದನು?

2.1.2 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಗುಣಾಕಾರ

ಫರೀದಾ ಬಳಿ $9 cm$ ಉದ್ದದ ರಿಬ್ಬನ್ ಪಟ್ಟಿ ಇತ್ತು. ಅವಳು ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿದಳು. ಅವಳು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಿದಳು? ಅವಳು ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಮಡಚಿದಳು. ಒಟ್ಟು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಭಾಗವು ಎಷ್ಟು ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ?

ಪ್ರತಿ ಭಾಗವು ಪಟ್ಟಿಯ $\frac{9}{4}$ ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಳು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಡಚುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದಳು. ತುಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ $\frac{9}{4}$ ಅಥವಾ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ ನಂತಹ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಚಿತ್ರ 2.8

ಚಿತ್ರ 2.9

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಮೊದಲು $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ನಂತಹ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.

(a) ಒಂದು ಪೂರ್ಣದ $\frac{1}{3}$ ಅನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ? ನಾವು ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣದ $\frac{1}{3}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಚಿತ್ರ 2.8 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅದನ್ನು ಮಬ್ಬು ಮಾಡಿ.

(b) ಈ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗದ $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೀರಿ? ಈ ಮೂರನೇ ಒಂದು $(\frac{1}{3})$ ಮಬ್ಬಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಈ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ $\frac{1}{3}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ (ಚಿತ್ರ 2.9).

ಈ ಎರಡರಲ್ಲಿ 1 ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ‘A’ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ. ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

(c) ‘A’ ಪೂರ್ಣದ ಯಾವ ಭಾಗವಾಗಿದೆ? ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರತಿ $\frac{1}{3}$ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಹ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಬಳಿ ಎಷ್ಟು ಅಂತಹ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಿವೆ?

ಅಂತಹ ಆರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಿವೆ. ‘A’ ಈ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ‘$A$’ ಪೂರ್ಣದ $\frac{1}{6}$ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

‘$A$’ ಪೂರ್ಣದ $\frac{1}{6}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆವು? ಪೂರ್ಣವನ್ನು $6=2 \times 3$ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ $1=1 \times 1$ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪೂರ್ಣವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ನಂತರ ಈ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಈ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದು $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, $\frac{1}{6}$.

ಆದ್ದರಿಂದ: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ as discussed earlier. } $

ಹೀಗಾಗಿ: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ ಮತ್ತು $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ ಮತ್ತು $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಾ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಈ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಸುಶಾಂತ್ 1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕದ $\frac{1}{3}$ ಭಾಗವನ್ನು ಓದುತ್ತಾನೆ. $2 \frac{1}{5}$ ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವನು ಪುಸ್ತಕದ ಎಷ್ಟು ಭಾಗವನ್ನು ಓದುತ್ತಾನೆ?

ಪರಿಹಾರ

1 ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಸುಶಾಂತ್ ಓದಿದ ಪುಸ್ತಕದ ಭಾಗ $=\frac{1}{3}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $2 \frac{1}{5}$ ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವನು ಓದಿದ ಪುಸ್ತಕದ ಭಾಗ $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

ಈಗ ನಾವು $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$.

$ \text{ So, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

ಅಲ್ಲದೆ, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$. ಹೀಗಾಗಿ, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$.

ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದಲೂ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಐದು ಸಮಾನ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 2.10) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಐದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವೃತ್ತಗಳ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಆಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಮೊದಲು ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಅದರಿಂದ ಒಂದು ಭಾಗವು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಆಕಾರವಾಗಿದೆ. ಅದು ಏನನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ?

ಅದು $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಭಾಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

ಅದೇ ರೀತಿ: $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ ಅನ್ನು $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$ ಎಂದು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$.

ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೌಲ್ಯ

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $3 \times 4=12$ ಮತ್ತು $12>4,12>3$. ನಾವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಮೊದಲು ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ನಮಗೆ ಇದಿದೆ,

ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಗುಣಲಬ್ಧವು ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಅಥವಾ, ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಇನ್ನೂ ಐದು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಈಗ ಎರಡು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ.

ಎರಡು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.

ಅಥವಾ, ಎರಡು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಐದು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಈಗ ಒಂದು ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ, $\frac{2}{3}$ ಮತ್ತು $\frac{7}{5}$ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ.

ನಮಗೆ $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$ ಇದೆ. ಇಲ್ಲಿ, $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ ಮತ್ತು $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

ಪಡೆದ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅಸಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ.

$\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ ಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ 2.2

1. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $\frac{1}{4}$ ಆಫ್ $\quad$(a) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (b) $\frac{3}{5}$(c) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\frac{1}{7}$ ಆಫ್ $\quad$ (a) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (b) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (c) $\frac{3}{10}$

2. ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

3. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ:

(i) $\frac{2}{5} \times 5 \frac{1}{4}$

(ii) $6 \frac{2}{5} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{2} \times 5 \frac{1}{3}$

(iv) $\frac{5}{6} \times 2 \frac{3}{7}$

(v) $3 \frac{2}{5} \times \frac{4}{7}$

(vi) $2 \frac{3}{5} \times 3$

(vii) $3 \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$

4. ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು:

(i) $\frac{2}{7}$ ಆಫ್ $\frac{3}{4}$ ಅಥವಾ $\frac{3}{5}$ ಆಫ್ $\frac{5}{8}$

(ii) $\frac{1}{2}$ ಆಫ್ $\frac{6}{7}$ ಅಥವಾ $\frac{2}{3}$ ಆಫ್ $\frac{3}{7}$

5. ಸೈಲಿ ತನ್ನ ತೋಟದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 4 ಸ