२.१ अपूर्णांकांचा गुणाकार

तुम्हाला आयताचे क्षेत्रफळ कसे काढायचे हे माहित आहे. ते लांबी $\times$ रुंदी इतके असते. जर आयताची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $7 cm$ आणि $4 cm$ असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती असेल? त्याचे क्षेत्रफळ $7 \times 4=28 cm^{2}$ असेल.

जर आयताची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे $7 \frac{1}{2} cm$ आणि $3 \frac{1}{2} cm$ असतील तर आयताचे क्षेत्रफळ किती असेल? तुम्ही म्हणाल की ते $7 \frac{1}{2} \times 3 \frac{1}{2}=\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} cm^{2}$ असेल. संख्या $\frac{15}{2}$

आणि $\frac{7}{2}$ हे अपूर्णांक आहेत. दिलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, आपल्याला अपूर्णांकांचा गुणाकार कसा करायचा हे माहित असणे आवश्यक आहे. आपण आता ते शिकू.

२.१.१ अपूर्णांकाचा पूर्ण संख्येने गुणाकार

आकृती २.१

डावीकडील चित्रे (आकृती २.१) पहा. प्रत्येक छायांकित भाग वर्तुळाचा $\frac{1}{4}$ भाग आहे. दोन्ही छायांकित भाग मिळून किती दर्शवतील? ते $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=2 \times \frac{1}{4}$ दर्शवतील.

दोन छायांकित भाग एकत्र केल्यावर आपल्याला आकृती २.२ मिळते. आकृती २.२ मधील छायांकित भाग वर्तुळाचा कितवा भाग दर्शवतो? तो वर्तुळाचा $\frac{2}{4}$ भाग दर्शवतो.

आकृती २.२

आकृती २.१ मधील छायांकित भाग एकत्र घेतले तर ते आकृती २.२ मधील छायांकित भागासारखेच असतात, म्हणजे आपल्याला आकृती २.३ मिळते.

आकृती २.३

किंवा: $ 2 \times \frac{1}{4}=\frac{2}{4} . $

आता तुम्ही सांगू शकता की हे चित्र काय दर्शवेल? (आकृती २.४)

आकृती २.४

आणि हे? (आकृती २.५)

आकृती २.५

आता $3 \times \frac{1}{2}$ काढू.

आपल्याकडे आहे

$3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

आपल्याकडे हे देखील आहे

$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

म्हणून: $ 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \times 1}{2}=\frac{3}{2} $

त्याचप्रमाणे: $ \frac{2}{3} \times 5=\frac{2 \times 5}{3}=? $

तुम्ही सांगू शकता

$ 3 \times \frac{2}{7}=? \quad 4 \times \frac{3}{5}=? $

आतापर्यंत आपण विचारात घेतलेले अपूर्णांक, म्हणजे $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{7}$ आणि $\frac{3}{5}$ हे योग्य अपूर्णांक होते.

अयोग्य अपूर्णांकांसाठी देखील आपल्याकडे आहे,

प्रयत्न करा,

$ \begin{aligned} & 2 \times \frac{5}{3}=\frac{2 \times 5}{3}=\frac{10}{3} \\ & 3 \times \frac{8}{7}=? 4 \times \frac{7}{5}=? \end{aligned} $

अशाप्रकारे, पूर्ण संख्येचा योग्य किंवा अयोग्य अपूर्णांकाशी गुणाकार करताना, आपण पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाच्या अंशाशी गुणाकार करतो, भाजक तसाच ठेवतो.

प्रयत्न करा

१. काढा: (a) $\frac{2}{7} \times 3$

(b) $\frac{9}{7} \times 6$

(c) $3 \times \frac{1}{8}$

(d) $\frac{13}{11} \times 6$

जर गुणाकार अयोग्य अपूर्णांक असेल तर त्याचे मिश्र अपूर्णांकात रूपांतर करा.

२. चित्रात्मक रूपात दाखवा: $2 \times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

प्रयत्न करा

काढा: (i) $5 \times 2 \frac{3}{7}$

(ii) $1 \frac{4}{9} \times 6$

मिश्र अपूर्णांकाचा पूर्ण संख्येने गुणाकार करताना, प्रथम मिश्र अपूर्णांकाचे अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतर करा आणि नंतर गुणाकार करा.

म्हणून, $\quad 3 \times 2 \frac{5}{7}=3 \times \frac{19}{7}=\frac{57}{7}=8 \frac{1}{7}$.

त्याचप्रमाणे, $\quad 2 \times 4 \frac{2}{5}=2 \times \frac{22}{5}=$ ?

‘चा/ची/चे’ हे अपूर्णांकाचे कार्य (ऑपरेटर)

ही चित्रे पहा (आकृती २.६)

दोन्ही चौरस एकसारखेच आहेत.

प्रत्येक छायांकित भाग १ चा $\frac{1}{2}$ दर्शवतो.

म्हणून, दोन्ही छायांकित भाग मिळून २ चा $\frac{1}{2}$ दर्शवतील.

दोन छायांकित $\frac{1}{2}$ भाग एकत्र करा. तो १ दर्शवतो.

म्हणून, आपण म्हणतो की २ चा $\frac{1}{2}$ हा १ आहे. आपल्याला ते $\frac{1}{2} \times 2=1$ असे देखील मिळू शकते.

अशाप्रकारे, $\frac{1}{2}$ चा $2=\frac{1}{2} \times 2=1$

आकृती २.६

तसेच, हे एकसारखे चौरस पहा (आकृती २.७).

प्रत्येक छायांकित भाग १ चा $\frac{1}{2}$ दर्शवतो.

म्हणून, तीन छायांकित भाग ३ चा $\frac{1}{2}$ दर्शवतात.

तीन छायांकित भाग एकत्र करा.

ते $1 \frac{1}{2}$ म्हणजेच $\frac{3}{2}$ दर्शवतात.

म्हणून, ३ चा $\frac{1}{2}$ हा $\frac{3}{2}$ आहे. तसेच, $\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$.

आकृती २.७

अशाप्रकारे, $\frac{1}{2}$ चा $3=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2}$.

म्हणून आपण पाहतो की ‘चा/ची/चे’ हे गुणाकार दर्शवते.

फरीदाकडे २० गोट्या आहेत. रेश्माकडे फरीदाकडील गोट्यांच्या संख्येचा $\frac{1}{5}$ वा भाग आहे. रेश्माकडे किती गोट्या आहेत? ‘चा/ची/चे’ हे गुणाकार दर्शवते म्हणून, रेश्माकडे $\frac{1}{5} \times 20=4$ गोट्या आहेत.

त्याचप्रमाणे, आपल्याकडे १६ चा $\frac{1}{2}$ हा $\frac{1}{2} \times 16=\frac{16}{2}=8$ आहे.

प्रयत्न करा

तुम्ही सांगू शकता का, (i) $\frac{1}{2}$ चा $10 ?$, (ii) $\frac{1}{4}$ चा $16 ?$, (iii) $\frac{2}{5}$ चा $25 ?$

उदाहरण १ एका वर्गात ४० विद्यार्थी आहेत. एकूण विद्यार्थ्यांपैकी $\frac{1}{5}$ विद्यार्थ्यांना इंग्रजी अभ्यासायला आवडते, एकूण विद्यार्थ्यांपैकी $\frac{2}{5}$ विद्यार्थ्यांना गणित अभ्यासायला आवडते आणि उर्वरित विद्यार्थ्यांना विज्ञान अभ्यासायला आवडते.

(i) किती विद्यार्थ्यांना इंग्रजी अभ्यासायला आवडते?

(ii) किती विद्यार्थ्यांना गणित अभ्यासायला आवडते?

(iii) एकूण विद्यार्थ्यांपैकी किती भाग विद्यार्थ्यांना विज्ञान अभ्यासायला आवडते?

उकल

वर्गातील एकूण विद्यार्थी संख्या $=40$.

(i) यापैकी एकूण विद्यार्थ्यांपैकी $\frac{1}{5}$ विद्यार्थ्यांना इंग्रजी अभ्यासायला आवडते.

म्हणून, इंग्रजी अभ्यासायला आवडणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या $=\frac{1}{5}$ चा $40=\frac{1}{5} \times 40=8$.

(ii) स्वतः प्रयत्न करा.

(iii) इंग्रजी आणि गणित आवडणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या $=8+16=24$. म्हणून, विज्ञान आवडणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या $=40-24=16$.

म्हणून, आवश्यक अपूर्णांक $\frac{16}{40}$ आहे.

उदाहरणे २.१

१. कोणत्या रेखाटनांमध्ये (a) ते (d) दाखवले आहे:

(i) $2 \times \frac{1}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{2}$

(iii) $3 \times \frac{2}{3}$

(iv) $3 \times \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

(d)

२. काही चित्रे (a) ते (c) खाली दिली आहेत. त्यापैकी कोणती चित्रे दाखवतात ते सांगा:

(i) $3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

(ii) $2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

(iii) $3 \times \frac{3}{4}=2 \frac{1}{4}$

(a)

(b)

(c)

३. गुणाकार करा आणि सर्वात सोप्या रूपात आणा आणि मिश्र अपूर्णांकात रूपांतरित करा:

(i) $7 \times \frac{3}{5}$

(ii) $4 \times \frac{1}{3}$

(iii) $2 \times \frac{6}{7}$

(iv) $5 \times \frac{2}{9}$

(v) $\frac{2}{3} \times 4$

(vi) $\frac{5}{2} \times 6$

(vii) $11 \times \frac{4}{7}$

(viii) $20 \times \frac{4}{5}$

(ix) $13 \times \frac{1}{3}$

(x) $15 \times \frac{3}{5}$

४. छायांकित करा: (i) बॉक्स (a) मधील वर्तुळांपैकी $\frac{1}{2}$ (ii) बॉक्स (b) मधील त्रिकोणांपैकी $\frac{2}{3}$

(iii) बॉक्स (c) मधील चौरसांपैकी $\frac{3}{5}$.

(a)

(b)

(c)

५. काढा:

(a) $\frac{1}{2}$ चे (i) 24 (ii) 46

(b) $\frac{2}{3}$ चे (i) 18 (ii) 27

(c) $\frac{3}{4}$ चे (i) 16 (ii) 36

(d) $\frac{4}{5}$ चे (i) 20 (ii) 35

६. गुणाकार करा आणि मिश्र अपूर्णांक म्हणून व्यक्त करा:

(a) $3 \times 5 \frac{1}{5}$

(b) $5 \times 6 \frac{3}{4}$

(c) $7 \times 2 \frac{1}{4}$

(d) $4 \times 6 \frac{1}{3}$

(e) $3 \frac{1}{4} \times 6$

(f) $3 \frac{2}{5} \times 8$

७. काढा: (a) $\frac{1}{2}$ चे (i) $2 \frac{3}{4}$ (ii) $4 \frac{2}{9}$

(b) $\frac{5}{8}$ चे (i) $3 \frac{5}{6}$ (ii) $9 \frac{2}{3}$

८. विद्या आणि प्रताप पिकनिकला गेले होते. त्यांच्या आईने त्यांना ५ लिटर पाणी असलेली बाटली दिली. विद्याने $\frac{2}{5}$ पाणी वापरले. प्रतापने उरलेले पाणी वापरले.

(i) विद्याने किती पाणी प्यायले?

(ii) प्रतापने एकूण पाण्याच्या किती भाग प्यायला?

२.१.२ अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार

फरीदाकडे $9 cm$ लांबीची फीत होती. तिने ही फीत चार समान भागांत कापली. तिने ते कसे केले? तिने फीत दोनदा दुमडली. प्रत्येक भाग एकूण लांबीचा कितवा भाग दर्शवेल?

प्रत्येक भाग फीतीचा $\frac{9}{4}$ भाग असेल. तिने एक भाग घेतला आणि तो भाग एकदा दुमडून दोन समान भागांत विभागला. यातील एक तुकडा काय दर्शवेल? तो $\frac{1}{2}$ चा $\frac{9}{4}$ किंवा $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ दर्शवेल.

आता $\frac{1}{2} \times \frac{9}{4}$ सारख्या दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार कसा काढायचा ते पाहू.

आकृती २.८

आकृती २.९

हे करण्यासाठी आपण प्रथम $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ सारखे गुणाकार कसे काढायचे ते शिकू.

(a) आपण पूर्णाचा $\frac{1}{3}$ कसा काढू? आपण पूर्णाचे तीन समान भाग करतो. या तीन भागांपैकी प्रत्येक भाग पूर्णाचा $\frac{1}{3}$ दर्शवतो. या तीन भागांपैकी एक भाग घ्या आणि आकृती २.८ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे छायांकित करा.

(b) या छायांकित भागाचा $\frac{1}{2}$ तुम्ही कसा काढाल? या एक तृतीयांश $(\frac{1}{3})$ छायांकित भागाचे दोन समान भाग करा. या दोन भागांपैकी प्रत्येक भाग $\frac{1}{2}$ चा $\frac{1}{3}$ म्हणजेच $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ दर्शवतो (आकृती २.९).

या दोन भागांपैकी १ भाग काढा आणि त्याला ‘A’ नाव द्या. ‘A’ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ दर्शवतो.

(c) ‘A’ हा पूर्णाचा कितवा भाग आहे? यासाठी, उर्वरित $\frac{1}{3}$ भागांपैकी प्रत्येक भागाचे देखील दोन समान भाग करा. आता तुमच्याकडे असे किती समान भाग आहेत?

असे सहा समान भाग आहेत. ‘A’ हा यापैकी एक भाग आहे.

म्हणून, ‘$A$’ हा पूर्णाचा $\frac{1}{6}$ आहे. अशाप्रकारे, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

‘$A$’ हा पूर्णाचा $\frac{1}{6}$ आहे हे आपण कसे ठरवले? पूर्णाचे $6=2 \times 3$ भाग केले होते आणि त्यातून $1=1 \times 1$ भाग घेतला होता.

अशाप्रकारे,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \\ & \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1 \times 1}{2 \times 3} \end{aligned} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ चे मूल्य देखील अशाच प्रकारे काढता येते. पूर्णाचे दोन समान भाग करा आणि नंतर यापैकी एका भागाचे तीन समान भाग करा. यापैकी एक भाग घ्या. हा $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$ म्हणजेच $\frac{1}{6}$ दर्शवेल.

म्हणून: $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{1 \times 1}{3 \times 2} \text{ as discussed earlier. } $

म्हणून: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6} $

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$ आणि $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ आणि $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ काढा आणि तपासा की तुम्हाला

$ \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} ; \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} $

हे मिळते का.

प्रयत्न करा

ही चौकटी भरा: (i) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}=\frac{1 \times 1}{2 \times 7}=\square \qquad$ (ii) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{7}=\square=\square$

(iii) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{2}=\square=\square \qquad$ (iv) $\frac{1}{7} \times \frac{1}{5}=\square=\square$

उदाहरण २ सुशांत १ तासात पुस्तकाचा $\frac{1}{3}$ भाग वाचतो. तो $2 \frac{1}{5}$ तासात पुस्तकाचा किती भाग वाचेल?

उकल

सुशांतने १ तासात वाचलेला पुस्तकाचा भाग $=\frac{1}{3}$.

म्हणून, त्याने $2 \frac{1}{5}$ तासात वाचलेला पुस्तकाचा भाग $=2 \frac{1}{5} \times \frac{1}{3}$

$ =\frac{11}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{11 \times 1}{5 \times 3}=\frac{11}{15} $

आता $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}$ काढू. आपल्याला माहित आहे की $\frac{5}{3}=\frac{1}{3} \times 5$.

$ \text{ So, } \frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 5=\frac{1}{6} \quad 5=\frac{5}{6} $

तसेच, $\frac{5}{6}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}$. अशाप्रकारे, $\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}=\frac{1 \times 5}{2 \times 3}=\frac{5}{6}$.

हे खाली काढलेल्या आकृत्यांद्वारे देखील दाखवले आहे. या पाच समान आकारांपैकी प्रत्येक आकार (आकृती २.१०) पाच समान वर्तुळांचे भाग आहेत. असा एक आकार घ्या. हा आकार मिळवण्यासाठी आपण प्रथम एका वर्तुळाचे तीन समान भाग करतो. नंतर या तीन भागांपैकी प्रत्येक भागाचे दोन समान भाग करतो. त्यातील एक भाग हा आपण विचारात घेतलेला आकार आहे. तो काय दर्शवेल?

तो $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ दर्शवेल. अशा भागांची एकूण संख्या $5 \times \frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ असेल.

प्रयत्न करा

काढा: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} ; \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}$

त्याचप्रमाणे: $ \quad \frac{3}{5} \times \frac{1}{7}=\frac{3 \times 1}{5 \times 7}=\frac{3}{35} . $

अशाप्रकारे आपण $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$ ला $\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{2 \times 7}{3 \times 5}=\frac{14}{15}$ असे काढू शकतो.

म्हणून, आपल्याला असे आढळते की दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार $\frac{\text{ Product of Numerators }}{\text{ Product of Denominators }}$ असे करतो.

प्रयत्न करा

काढा: $\frac{8}{3} \times \frac{4}{7} ; \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}$.

गुणाकाराची मूल्ये

तुम्ही पाहिले आहे की दोन पूर्ण संख्यांचा गुणाकार त्या दोन्ही पूर्ण संख्यांपेक्षा मोठा असतो. उदाहरणार्थ, $3 \times 4=12$ आणि $12>4,12>3$. जेव्हा आपण दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार करतो तेव्हा गुणाकाराचे मूल्य काय होते?

प्रथम दोन योग्य अपूर्णांकांचा गुणाकार विचारात घेऊ.

आपल्याकडे आहे,

तुम्हाला असे आढळेल की जेव्हा दोन योग्य अपूर्णांकांचा गुणाकार केला जातो, तेव्हा गुणाकार प्रत्येक अपूर्णांकापेक्षा कमी असतो. किंवा, आपण असे म्हणतो की दोन योग्य अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचे मूल्य त्या दोन्ही अपूर्णांकांपेक्षा लहान असते.

आणखी पाच उदाहरणे तयार करून हे तपासा.

आता दोन अयोग्य अपूर्णांकांचा गुणाकार करू.

आपल्याला असे आढळते की दोन अयोग्य अपूर्णांकांचा गुणाकार त्या दोन्ही अपूर्णांकांपेक्षा मोठा असतो.

किंवा, दोन अयोग्य अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचे मूल्य त्या दोन्ही अपूर्णांकांपेक्षा जास्त असते.

स्वतःसाठी आणखी पाच उदाहरणे तयार करा आणि वरील विधानाची पडताळणी करा.

आता एक योग्य अपूर्णांक आणि एक अयोग्य अपूर्णांक यांचा गुणाकार करू, म्हणजे $\frac{2}{3}$ आणि $\frac{7}{5}$.

आपल्याकडे $\quad \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}$ आहे. येथे, $\frac{14}{15}<\frac{7}{5}$ आणि $\frac{14}{15}>\frac{2}{3}$

मिळालेला गुणाकार गुणाकारातील अयोग्य अपूर्णांकापेक्षा कमी आणि योग्य अपूर्णांकापेक्षा जास्त असतो.

$\frac{6}{5} \times \frac{2}{8}, \frac{8}{3} \times \frac{4}{5}$ साठी ते तपासा.

उदाहरणे २.२

१. काढा:

(i) $\frac{1}{4}$ चे $\quad$(a) $\frac{1}{4}$ $\quad$ (b) $\frac{3}{5}$(c) $\quad$ $\frac{4}{3}$

(ii) $\frac{1}{7}$ चे $\quad$ (a) $\frac{2}{9}$ $\quad$ (b) $\frac{6}{5}$ $\quad$ (c) $\frac{3}{10}$

२. गुणाकार करा आणि सर्वात सोप्या रूपात आणा (शक्य असल्यास):

(i) $\frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{2}{7} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$

(iv) $\frac{9}{5} \times \frac{3}{5}$

(v) $\frac{1}{3} \times \frac{15}{8}$

(vi) $\frac{11}{2} \times \frac{3}{10}$

(vii) $\frac{4}{5} \times \frac{12}{7}$

३. खालील अपूर्णांकांचा गुणाकार करा:

(i) $\frac{2}{5} \times 5 \frac{1}{4}$

(ii) $6 \frac{2}{5} \times \frac{7}{9}$

(iii) $\frac{3}{2} \times 5 \frac{1}{3}$

(iv) $\frac{5}{6} \times 2 \frac{3}{7}$

(v) $3 \frac{2}{5} \times \frac{4}{7}$

(vi) $2 \frac{3}{5} \times 3$

(vii) $3 \frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$

४. कोणते मोठे आहे:

(i) $\frac{2}{7}$ चे $\frac{3}{4}$ किंवा $\frac{3}{5}$ चे $\frac{5}{8}$

(ii) $\frac{1}{2}$ चे $\frac{6}{7}$ किंवा $\frac{2}{3}$ चे $\frac{3}{7}$

५. सैलीने तिच्या बागेत एका रांगेत ४ रोपे लावली. दोन लगतच्या रोपांमधील अंतर $\frac{3}{4} m$ आहे. पहिल्या आणि शेवटच्या रोपामधील अंतर काढा.

६. लिपिका दररोज $1 \frac{3}{4}$ तास पुस्तक वाचते. ती संपूर्ण पुस्तक ६ दिवसात वाचते. पुस्तक वाचण्यासाठी तिला एकूण किती तास लागले?

७. एक कार १ लिटर पेट्रोल वापरून $16 km$ धावते. $2 \frac{3}{4}$ लिटर पेट्रोल वापरून ती किती अंतर कापेल.

८. (a) (i) $\square$ या चौकटीतील संख्या अशी द्या की $\frac{2}{3} \times \square=\frac{10}{30}$.

(ii) $\square$ मध्ये मिळालेल्या संख्येचे सर्वात सोपे रूप

(b) (i) $\square$ या चौकटीतील संख्या अशी द्या की $\frac{3}{5} \times \square=\frac{24}{75}$.

(ii) $\square$ मध्ये मिळालेल्या संख्येचे सर्वात सोपे रूप

२.२ अपूर्णांकांची भागाकार

जॉनकडे $6 cm$ लांबीची कागदाची पट्टी आहे. तो ही पट्टी $2 cm$ लांबीच्या लहान पट्ट्यांत कापतो. तुम्हाला माहित आहे की त्याला $6 \div 2=3$ पट्ट्या मिळतील.

जॉन आणखी एक $6 cm$ लांबीची पट्टी $\frac{3}{2} cm$ लांबीच्या लहान पट्ट्यांत कापतो. आता त्याला किती पट्ट्या मिळतील? त्याला $6 \div \frac{3}{2}$ पट्ट्या मिळतील.

$\frac{15}{2} cm$ लांबीची कागदाची पट्टी $\frac{3}{2} cm$ लांबीच्या लहान पट्ट्यांत कापली जाऊ शकते ज्यामुळे $\frac{15}{2} \div \frac{3}{2}$ तुकडे मिळतात.

म्हणून, आपल्याला पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाने भागाकार किंवा अपूर्णांकाचा दुसऱ्या अपूर्णांकाने भागाकार करणे आवश्यक आहे. ते कसे करायचे ते पाहू.

२.२.१ पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाने भागाकार

$1 \div \frac{1}{2}$ काढू.

आपण पूर्णाचे असे भाग करतो की प्रत्येक भाग पूर्णाचा अर्धा असेल.

अशा अर्ध्या ($(\frac{1}{2}.$) भागांची संख्या $1 \div \frac{1}{2}$ असेल. आकृती (आकृती २.११) पहा. तुम्हाला किती अर्धे भाग दिसतात?

दोन अर्धे भाग आहेत.

म्हणून, $\quad 1 \div \frac{1}{2}=2$. तसेच, $1 \times \frac{2}{1}=1 \times 2=2$.

अशाप्रकारे, $1 \div \frac{1}{2}=1 \times \frac{2}{1}(\frac{1}{2} \quad \frac{1}{2})$

आकृती २.११

त्याचप्रमाणे, $3 \div \frac{1}{4}=$ $\frac{1}{4}$ भागांची संख्या जेव्हा प्रत्येक ३ पूर्ण संख्या, $\frac{1}{4}$ समान भागांत विभागल्या जातात तेव्हा मिळते $=12$ (आकृती २.१२ वरून)

आकृती २.१२

हे देखील लक्षात घ्या की, $3 \times \frac{4}{1}=3 \times 4=12$. अशाप्रकारे, $3 \div \frac{1}{4}=3 \times \frac{4}{1}=12$.

अशाच प्रकारे, $3 \div \frac{1}{2}$ आणि $3 \times \frac{2}{1}$ काढा.

अपूर्णांकाचा व्यस्त अपूर्णांक

संख्या $\frac{2}{1}$ ही $\frac{1}{2}$ चा अंश आणि भाजक अदलाबदल करून किंवा $\frac{1}{2}$ चा व्यस्त घेऊन मिळवता येते. त्याचप्रमाणे, $\frac{3}{1}$ हा $\frac{1}{3}$ चा व्यस्त घेऊन मिळवला जातो.

प्रथम अशा संख्यांचा व्यस्त घेण्याबद्दल पाहू.

हे गुणाकार पहा आणि रिकाम्या जागा भरा:

असे आणखी पाच जोड्यांचा गुणाकार करा.

अशा शून्येतर संख्या ज्यांचा एकमेकांशी गुणाकार १ येतो, त्यांना एकमेकांचे व्यस्त अपूर्णांक म्हणतात.

म्हणून $\frac{5}{9}$ चा व्यस्त अपूर्णांक $\frac{9}{5}$ आहे आणि $\frac{9}{5}$ चा व्यस्त अपूर्णांक $\frac{5}{9}$ आहे. $\frac{1}{9}$ चा व्यस्त अपूर्णांक काय? $\frac{2}{7}$ ?

तुम्ही पाहाल की $\frac{2}{3}$ चा व्यस्त अपूर्णांक त्याचा व्यस्त घेऊन मिळतो. तुम्हाला $\frac{3}{2}$ मिळेल.