१.१ प्रस्तावना

आजकाल आपल्यासाठी वस्तू मोजणे सोपे आहे. आपण मोठ्या संख्येने वस्तू मोजू शकतो, उदाहरणार्थ, शाळेतील विद्यार्थ्यांची संख्या, आणि त्यांना अंकांद्वारे दर्शवू शकतो. आपण योग्य संख्यानावे वापरून मोठ्या संख्यांचे संप्रेषणही करू शकतो.

असे नाही की आपल्याला नेहमीच संभाषणात किंवा चिन्हांद्वारे मोठ्या प्रमाणातील गोष्टी कशा व्यक्त करायच्या हे माहित होते. हजारो वर्षांपूर्वी, लोकांना फक्त लहान संख्या माहित होत्या. हळूहळू, त्यांनी मोठ्या संख्यांशी कसे वागायचे ते शिकले. त्यांनी मोठ्या संख्यांना चिन्हांमध्ये कसे व्यक्त करायचे तेही शिकले. हे सर्व मानवाच्या सामूहिक प्रयत्नांतून आले. त्यांचा मार्ग सोपा नव्हता, त्यांनी संपूर्ण मार्गात संघर्ष केला. खरं तर, संपूर्ण गणिताचा विकास या मार्गाने समजू शकतो. मानव जसजसा प्रगती करत गेला, तसतशी गणिताच्या विकासाची गरज वाढली आणि परिणामी गणित आणखी वाढले आणि वेगाने प्रगती केली.

आपण संख्या वापरतो आणि त्यांच्याबद्दल बर्याच गोष्टी जाणतो. संख्या आपल्याला ठोस वस्तू मोजण्यास मदत करतात. त्या कोणती वस्तूंची संग्रहणी मोठी आहे हे सांगण्यास आणि त्यांना क्रमाने मांडण्यास मदत करतात, उदा., पहिला, दुसरा, इत्यादी. संख्या अनेक भिन्न संदर्भात आणि अनेक प्रकारे वापरल्या जातात. आपण संख्या वापरतो अशा विविध परिस्थितींचा विचार करा. अशा पाच वेगवेगळ्या परिस्थितीची यादी करा जिथे संख्यांचा वापर केला जातो.

आपण आपल्या मागील इयत्तांमध्ये संख्यांसोबत काम करण्याचा आनंद घेतला. आपण त्यांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार केले आहेत. आपण संख्यामालिकांमधील नमुनेही शोधले आणि संख्यांसोबत इतर अनेक मनोरंजक गोष्टी केल्या. या प्रकरणात, आपण थोडी पुनरावृत्ती आणि पुनर्रचना देखील करून अशा मनोरंजक गोष्टींवर पुढे जाऊ.

१.२ संख्यांची तुलना

आपण यापूर्वी यापैकी बर्याच केले आहे, म्हणून आपण हे लक्षात ठेवू या की यापैकी सर्वात मोठी कोणती आहे :

(i) $92,392,4456,89742 \quad$ मी सर्वात मोठी आहे!

(ii) $1902,1920,9201,9021,9210 \quad$ मी सर्वात मोठी आहे!

तर, आपल्याला उत्तरे माहित आहेत.

तुमच्या मित्रांसोबत चर्चा करा, तुम्हाला सर्वात मोठी संख्या कशी सापडते.

हे करून पहा

तुम्ही प्रत्येक ओळीतील सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान संख्या त्वरित शोधू शकता का?

१. $382,4972,18,59785,750$ $\qquad$ उत्तर : $59785$ सर्वात मोठी आहे आणि 18 सर्वात लहान आहे
२. $1473,89423,100,5000,310$ $\qquad$ उत्तर : ____________________
३. $1834,75284,111,2333,450$ $\qquad$ उत्तर : ____________________
४. $2853,7691,9999,12002,124$ $\qquad$ उत्तर : ____________________

ते सोपे होते का? ते सोपे का होते?

आपण फक्त अंकांची संख्या पाहिली आणि उत्तर शोधले.

सर्वात मोठ्या संख्येस सर्वात जास्त हजार असतात आणि सर्वात लहान संख्या फक्त शेकडो किंवा दशकांमध्ये असते.

याच प्रकारची आणखी पाच समस्या तयार करा आणि तुमच्या मित्रांना सोडवण्यासाठी द्या.

आता, आपण 4875 आणि 3542 यांची तुलना कशी करू?

हे देखील फार अवघड नाही. या दोन्ही संख्यांमध्ये अंकांची संख्या सारखीच आहे. त्या दोन्ही हजारांमध्ये आहेत. परंतु 4875 मधील हजारांच्या स्थानावरील अंक 3542 मधील त्या स्थानाच्या अंकापेक्षा मोठा आहे. म्हणून, 4875 ही संख्या 3542 पेक्षा मोठी आहे.

हे करून पहा

सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान संख्या शोधा.

(a) $4536, 4892, 4370, 4452$.
(b) $15623, 15073, 15189, 15800$.
(c) $25286, 25245, 25270, 25210$.
(d) $6895, 23787, 24569, 24659$.

पुढे सांगा, 4875 आणि 4542 पैकी कोणती मोठी आहे? येथे देखील संख्यांमध्ये अंकांची संख्या सारखीच आहे. शिवाय, दोन्हीमध्ये हजारांच्या स्थानावरील अंक सारखेच आहेत. मग आपण काय करू? आपण पुढच्या अंकाकडे जाऊ, म्हणजेच शेकड्यांच्या स्थानाच्या अंकाकडे. 4875 मधील शेकड्यांच्या स्थानाचा अंक 4542 पेक्षा मोठा आहे. म्हणून, 4875 ही संख्या 4542 पेक्षा मोठी आहे.

जर दोन्ही संख्यांमध्ये शेकड्यांच्या स्थानावरील अंक देखील सारखे असतील, तर आपण काय करू?

4875 आणि 4889 यांची तुलना करा; तसेच 4875 आणि 4879 यांची तुलना करा.

१.२.१ तुम्ही किती संख्या बनवू शकता?

समजा, आपल्याकडे चार अंक 7, 8, 3, 5 आहेत. या अंकांचा वापर करून आपण भिन्न 4-अंकी संख्या अशा प्रकारे बनवू इच्छितो की त्यामध्ये कोणताही अंक पुनरावृत्ती होऊ नये. अशाप्रकारे, 7835 परवानगी आहे, परंतु 7735 परवानगी नाही. तुम्ही शक्य तितक्या 4-अंकी संख्या बनवा.

तुम्हाला मिळू शकणारी सर्वात मोठी संख्या कोणती? सर्वात लहान संख्या कोणती?

सर्वात मोठी संख्या 8753 आहे आणि सर्वात लहान संख्या 3578 आहे.

दोन्हीमधील अंकांच्या मांडणीबद्दल विचार करा. सर्वात मोठी संख्या कशी तयार होते हे तुम्ही सांगू शकता का? तुमची प्रक्रिया लिहून काढा.

हे करून पहा

१. दिलेल्या अंकांचा पुनरावृत्ती न करता वापरा आणि सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान 4-अंकी संख्या बनवा.

(a) $2,8,7,4$
(b) $9,7,4,1$
(c) $4,7,5,0$
(d) $1,7,6,2$
(e) $5,4,0,3$

(सूचना: 0754 ही 3-अंकी संख्या आहे.)

२. आता कोणताही एक अंक दोनदा वापरून सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान 4-अंकी संख्या बनवा.

(a) $3,8,7$
(b) $9,0,5$
(c) $0,4,9$
(d) $8,5,1$

(सूचना: प्रत्येक बाबतीत कोणता अंक तुम्ही दोनदा वापराल याचा विचार करा.)

३. कोणतेही चार भिन्न अंक वापरून सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान 4-अंकी संख्या दिलेल्या अटींसह बनवा.

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (a) }& \text{ अंक 7 नेहमी एकक स्थानी असतो } & \text{ सर्वात मोठी } & \boxed{9}\boxed{8}\boxed{6}\boxed{7} \\ \\ & & \text{ सर्वात लहान} & \boxed{1}\boxed{0}\boxed{2}\boxed{7} \end{array} $

(लक्षात ठेवा, संख्या 0 अंकाने सुरू होऊ शकत नाही. का?)

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (b) }& \text{ अंक 4 नेहमी दशक स्थानी असतो } & \text{ सर्वात मोठी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सर्वात लहान} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (c) }& \text{ अंक 9 नेहमी शेकडा स्थानी असतो } & \text{ सर्वात मोठी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सर्वात लहान} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (d) }& \text{ अंक 1 नेहमी हजार स्थानी असतो } & \text{ सर्वात मोठी } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ सर्वात लहान} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \end{array} $

४. दोन अंक घ्या, म्हणा 2 आणि 3. दोन्ही अंक समान वेळा वापरून 4-अंकी संख्या बनवा.

सर्वात मोठी संख्या कोणती?

सर्वात लहान संख्या कोणती?

तुम्ही एकूण किती भिन्न संख्या बनवू शकता?

योग्य क्रमात उभे रहा

१. सर्वात उंच कोण?
२. सर्वात लहान कोण?

(a) तुम्ही त्यांना त्यांच्या उंचीच्या चढत्या क्रमाने मांडू शकता का?
(b) तुम्ही त्यांना त्यांच्या उंचीच्या उतरत्या क्रमाने मांडू शकता का?

कोणती विकत घ्यावी?

सोहन आणि रिता अलमारी विकत घ्यायला गेले. त्यांच्या किंमतीच्या टॅगसह अनेक अलमारी उपलब्ध होत्या.

(a) तुम्ही त्यांच्या किंमती चढत्या क्रमाने मांडू शकता का?
(b) तुम्ही त्यांच्या किंमती उतरत्या क्रमाने मांडू शकता का?

हे करून पहा

अशा पाच अधिक परिस्थितींचा विचार करा जिथे तुम्ही तीन किंवा अधिक राशींची तुलना करता.

चढता क्रम चढता क्रम म्हणजे सर्वात लहान पासून सर्वात मोठ्या पर्यंतची मांडणी.

उतरता क्रम उतरता क्रम म्हणजे सर्वात मोठ्या पासून सर्वात लहान पर्यंतची मांडणी.

हे करून पहा

१. खालील संख्या चढत्या क्रमाने मांडा :

(a) $847,9754,8320,571$
(b) $9801,25751,36501,38802$

२. खालील संख्या उतरत्या क्रमाने मांडा :

(a) $5000, 7500, 85400, 7861$
(b) $1971,45321,88715,92547$

चढता/उतरता क्रमाची अशी दहा उदाहरणे तयार करा आणि ती सोडवा.

१.२.२ अंकांची स्थानांतरे

तुम्ही कधी विचार केला आहे का की संख्येतील अंक एका स्थानावरून दुसऱ्या स्थानावर सरकू शकतात (हलू शकतात) तर किती मजा येईल?

१८२ बद्दल विचार करा की काय होईल. ती ८२१ इतकी मोठी आणि १२८ इतकी लहान होऊ शकते. ३९१ सोबत देखील हे करून पहा.

आता याचा विचार करा. कोणतीही ३-अंकी संख्या घ्या आणि शेकड्यांच्या स्थानाचा अंक आणि एकक स्थानाचा अंक यांची अदलाबदल करा.

(a) नवीन संख्या मागील संख्येपेक्षा मोठी आहे का?
(b) नवीन संख्या मागील संख्येपेक्षा लहान आहे का?

तयार झालेल्या संख्या दोन्ही चढत्या आणि उतरत्या क्रमाने लिहा.

जर तुम्ही पहिली आणि तिसरी टाइल (म्हणजे अंक) यांची अदलाबदल केली, तर कोणत्या बाबतीत संख्या मोठी होते? कोणत्या बाबतीत ती लहान होते?

हे ४-अंकी संख्येसोबत करून पहा.

१.२.३ $1 0 , 0 0 0$ ची ओळख

आपल्याला माहित आहे की ९९ च्या पुढे २-अंकी संख्या नाही. ९९ ही सर्वात मोठी २-अंकी संख्या आहे. त्याचप्रमाणे, सर्वात मोठी ३-अंकी संख्या ९९९ आहे आणि सर्वात मोठी ४-अंकी संख्या ९९९९ आहे. जर आपण ९९९९ मध्ये १ मिळवले तर आपल्याला काय मिळेल?

$ \begin{array}{lllllll} \text{नमुना पहा : } & 9+1 & = & 10 & = & 10 \times 1 \\ & 99+1 & = & 100 & = & 10 \times 10 \\ & 999+1 & = & 1000 & = & 10 \times 100 \end{array} $

आपण पाहतो की

सर्वात मोठी एक-अंकी संख्या $+1=$ सर्वात लहान २-अंकी संख्या
सर्वात मोठी २-अंकी संख्या $+1=$ सर्वात लहान ३-अंकी संख्या
सर्वात मोठी ३-अंकी संख्या $+1=$ सर्वात लहान ४-अंकी संख्या

मग आपण अपेक्षा करू शकतो की सर्वात मोठ्या ४-अंकी संख्येत १ मिळवल्यास, आपल्याला सर्वात लहान ५-अंकी संख्या मिळेल, म्हणजेच $9999+1=10000$.

९९९९ नंतर येणारी नवीन संख्या १०००० आहे. त्याला दहा हजार म्हणतात. पुढे, $10000=10 \times 1000$.

१.२.४ स्थानिक किंमतीचा पुनर्विचार

तुम्ही हे यापूर्वीच केले आहे, आणि तुम्हाला नक्कीच ७८ सारख्या २-अंकी संख्येचा विस्तार असे आठवेल

$78=70+8=7 \times 10+8$

त्याचप्रमाणे, तुम्हाला २७८ सारख्या ३-अंकी संख्येचा विस्तार असे आठवेल

$278=200+70+8=2 \times 100+7 \times 10+8$

आपण म्हणतो, इथे, ८ एकक स्थानी आहे, ७ दशक स्थानी आहे आणि २ शेकडा स्थानी आहे.

नंतर आपण ही कल्पना ४-अंकी संख्यांपर्यंत वाढवली.

उदाहरणार्थ, ५२७८ चा विस्तार आहे

$ \begin{aligned} 5278 & =5000+200+70+8 \\ & =5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \end{aligned} $

इथे, ८ एकक स्थानी आहे, ७ दशक स्थानी आहे, २ शेकडा स्थानी आहे आणि ५ हजार स्थानी आहे.

आपल्याला १०००० ही संख्या माहित असल्याने, आपण कल्पना आणखी पुढे नेऊ शकतो. आपण ५-अंकी संख्या अशा लिहू शकतो

$45278=4 \times 10000+5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8$

आपण म्हणतो की इथे ८ एकक स्थानी आहे, ७ दशक स्थानी आहे, २ शेकडा स्थानी आहे, ५ हजार स्थानी आहे आणि ४ दहा हजार स्थानी आहे. संख्या पंचेचाळीस हजार दोनशे अठ्ठ्याहत्तर अशी वाचली जाते. आता तुम्ही सर्वात लहान आणि सर्वात मोठी ५-अंकी संख्या लिहू शकता का?

हे करून पहा

संख्या वाचा आणि जिथे रिकाम्या जागा आहेत तिथे विस्तार करा.

संख्या	संख्येचे नाव	विस्तार
20000	वीस हजार	$2 \times 10000$
26000	सव्वीस हजार	$2 \times 10000+6 \times 1000$
38400	अडतीस हजार चारशे	$3 \times 10000+8 \times 1000 +4 \times 100$
65740	पासष्ठ हजार सातशे चाळीस	$6 \times 10000+5 \times 1000 +7 \times 100+4 \times 10$
89324	एकोणनव्वद हजार तीनशे चोवीस	$8 \times 10000 + 9 \times 1000 + 3 \times 100+2 \times 10 + 4 \times 1$
50000	_______________	_______________
41000	_______________	_______________
47300	_______________	_______________
57630	_______________	_______________
29485	_______________	_______________
29085	_______________	_______________
20085	_______________	_______________
20005	_______________	_______________

आणखी पाच ५-अंकी संख्या लिहा, त्या वाचा आणि त्यांचा विस्तार करा.

१.२.५ $1,00,000$ ची ओळख

सर्वात मोठी ५-अंकी संख्या कोणती?

सर्वात मोठ्या ५-अंकी संख्येत १ मिळवल्यास, सर्वात लहान ६-अंकी संख्या मिळावी : $99,999+1=1,00,000$

या संख्येला एक लाख म्हणतात. एक लाख ९९,९९९ नंतर येतो.

$10 \times 10,000=1,00,000$

आता आपण ६-अंकी संख्यांचा विस्तारित रूपात असे लिहू शकतो

$ \begin{aligned} 2,46,853= & 2 \times 1,00,000+4 \times 10,000+6 \times 1,000+ \\ & 8 \times 100+5 \times 10+3 \times 1 \end{aligned} $

या संख्येमध्ये ३ एकक स्थानी आहे, ५ दशक स्थानी आहे, ८ शेकडा स्थानी आहे, ६ हजार स्थानी आहे, ४ दहा हजार स्थानी आहे आणि २ लाख स्थानी आहे. तिचे संख्यानाव दोन लाख छेचाळीस हजार आठशे त्रेपन्न आहे.

हे करून पहा

संख्या वाचा आणि जिथे रिकाम्या जागा आहेत तिथे विस्तार करा.

संख्या	संख्येचे नाव	विस्तार
$3,00,000$	तीन लाख	$3 \times 1,00,000$
$3,50,000$	तीन लाख पन्नास हजार	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000$
$3,53,500$	तीन लाख त्रेपन्न हजार पाचशे	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000 +3 \times 1000+5 \times 100$
$4,57,928$	__________	__________
$4,07,928$	__________	__________
$4,00,829$	__________	__________
$4,00,029$	__________	__________

१.२.६ मोठ्या संख्या

जर आपण सर्वात मोठ्या ६-अंकी संख्येत आणखी एक मिळवले तर आपल्याला सर्वात लहान ७-अंकी संख्या मिळते. त्याला दहा लाख म्हणतात.

सर्वात मोठी ६-अंकी संख्या आणि सर्वात लहान ७-अंकी संख्या लिहा. सर्वात मोठी ७-अंकी संख्या आणि सर्वात लहान ८-अंकी संख्या लिहा. सर्वात लहान ८-अंकी संख्येला एक कोटी म्हणतात.

नमुना पूर्ण करा :

$\begin{array}{ll}9+1 & =10 \\ 99+1 & =100 \\ 999+1 & = ——\\ 9,999+1 & = ——\\ 99,999+1 & = ——\\ 9,99,999+1 & = ——\\ 99,99,999+1 & =-1,00,00,000 \end{array}$

हे करून पहा

१. $10-1=$ काय आहे?
२. $100-1=$ काय आहे?
३. $10,000-1=$ काय आहे?
४. $1,00,000-1=$ काय आहे?
५. $1,00,00,000-1=$ काय आहे?

(सूचना: दिलेला नमुना वापरा.)

आपल्याला अनेक भिन्न परिस्थितींमध्ये मोठ्या संख्यांचा सामना होतो. उदाहरणार्थ, तुमच्या वर्गातील मुलांची संख्या २-अंकी असेल, तर तुमच्या शाळेतील मुलांची संख्या ३ किंवा ४-अंकी असेल.

जवळच्या शहरातील लोकसंख्या आणखी मोठी असेल.

ती ५ किंवा ६ किंवा ७-अंकी संख्या आहे का?

तुमच्या राज्यातील लोकसंख्या किती आहे हे तुम्हाला माहिती आहे का?

त्या संख्येमध्ये किती अंक असतील?

गहू भरलेल्या पोत्यातील धान्याच्या कणांची संख्या किती असेल? ५-अंकी संख्या, ६-अंकी संख्या किंवा त्याहून अधिक?

हे करून पहा

१. अशी पाच उदाहरणे द्या जिथे मोजल्या जाणाऱ्या वस्तूंची संख्या ६-अंकी संख्येपेक्षा जास्त असेल.
२. सर्वात मोठ्या ६-अंकी संख्येपासून सुरुवात करून, मागील पाच संख्या उतरत्या क्रमाने लिहा.
३. सर्वात लहान ८-अंकी संख्येपासून सुरुवात करून, पुढील पाच संख्या चढत्या क्रमाने लिहा आणि त्या वाचा.

१.२.७ मोठ्या संख्या वाचण्यासाठी आणि लिहिण्यासाठी सहाय्य

खालील संख्या वाचण्याचा प्रयत्न करा:

(a) 279453
(b) 5035472
(c) 152700375
(d) 40350894

ते अवघड होते का?

माहिती ठेवणे अवघड वाटले का?

कधीकधी मोठ्या संख्या वाचण्यासाठी आणि लिहिण्यासाठी सूचक वापरणे मदत करते.

शगुफ्ता अशी सूचक वापरते जी तिला मोठ्या संख्या वाचण्यास आणि लिहिण्यास मदत करतात. तिची सूचक संख्यांचा विस्तार लिहिण्यासाठी देखील उपयुक्त आहेत. उदाहरणार्थ, ती २५७ मधील एकक स्थान, दशक स्थान आणि शेकडा स्थानाचे अंक $O, T$ आणि $H$ या तक्त्यांखाली लिहून ओळखते

$\mathrm{Th} \quad \mathrm{H} \quad \mathrm{T} \quad \mathrm{O} \quad$ विस्तार

$\begin{array}{llll}2 & 9 & 0 & 2 & 2 \times 1000+9 \times 100+0 \times 10+2 \times 1\end{array}$

त्याचप्रमाणे, २९०२ साठी,

$\mathrm{Th} \quad \mathrm{H} \quad \mathrm{T} \quad \mathrm{O} \quad$ विस्तार

$\begin{array}{llll}2 & 9 & 0 & 2 & 2 \times 1000+9 \times 100+0 \times 10+2 \times 1\end{array}$

ही कल्पना लाख पर्यंतच्या संख्यांपर्यंत वाढवता येते जसे खालील तक्त्यात दिसते. (त्यांना प्लेसमेंट बॉक्स म्हणूया). रिकाम्या जागा भरा.

त्याचप्रमाणे, आपण कोटी पर्यंतच्या संख्या खालीलप्रमाणे समाविष्ट करू शकतो:

तुम्ही संख्यांचा विस्तारित रूपात लिहिण्यासाठी इतर स्वरूपातील तक्ते बनवू शकता.

स्वल्पविरामांचा वापर

वरील विभागांमध्ये मोठ्या संख्या लिहिताना तुमच्या लक्षात आले असेल की आपण अनेकदा स्वल्पविराम वापरले आहेत. स्वल्पविराम मोठ्या संख्या वाचण्यात आणि लिहिण्यात आपल्याला मदत करतात. आपल्या भारतीय संख्यालिपी प्रणालीमध्ये आपण एकक, दशक, शंभर, हजार आणि नंतर लाख आणि कोटी वापरतो. हजार, लाख आणि कोटी दर्शविण्यासाठी स्वल्पविराम वापरले जातात. पहिला स्वल्पविराम शं