1.1 పరిచయం

వస్తువులను లెక్కించడం ఇప్పుడు మనకు సులభం. మనం పెద్ద సంఖ్యలలో వస్తువులను లెక్కించగలం, ఉదాహరణకు, పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య, మరియు వాటిని అంకెల ద్వారా సూచించగలం. మనం సరైన సంఖ్యా పేర్లను ఉపయోగించి పెద్ద సంఖ్యలను కూడా తెలియజేయగలం.

మాటల మాట్లాట్లో లేదా చిహ్నాల ద్వారా పెద్ద పరిమాణాలను ఎలా తెలియజేయాలో మనకు ఎల్లప్పుడూ తెలిసి ఉండేది కాదు. చాలా వేల సంవత్సరాల క్రితం, ప్రజలు చిన్న సంఖ్యలను మాత్రమే తెలిసి ఉండేవారు. క్రమంగా, వారు పెద్ద సంఖ్యలను ఎలా నిర్వహించాలో నేర్చుకున్నారు. పెద్ద సంఖ్యలను చిహ్నాలలో ఎలా వ్యక్తపరచాలో కూడా వారు నేర్చుకున్నారు. ఇవన్నీ మానవుల సామూహిక ప్రయత్నాల ద్వారా వచ్చాయి. వారి మార్గం సులభం కాదు, వారు అన్ని విధాలుగా కష్టపడ్డారు. వాస్తవానికి, మొత్తం గణిత శాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధిని ఈ విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మానవులు అభివృద్ధి చెందుతున్న కొద్దీ, గణిత శాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధి అవసరం పెరిగింది మరియు దాని ఫలితంగా గణిత శాస్త్రం మరింత మరియు వేగంగా అభివృద్ధి చెందింది.

మనం సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తాము మరియు వాటి గురించి చాలా విషయాలు తెలుసు. సంఖ్యలు మనకు ఘన వస్తువులను లెక్కించడంలో సహాయపడతాయి. వస్తువుల సమూహాలలో ఏది పెద్దదో చెప్పడంలో మరియు వాటిని క్రమంలో అమర్చడంలో (ఉదా., మొదటి, రెండవ, మొదలైనవి) అవి మనకు సహాయపడతాయి. సంఖ్యలు అనేక విభిన్న సందర్భాలలో మరియు అనేక విధాలుగా ఉపయోగించబడతాయి. మనం సంఖ్యలను ఉపయోగించే వివిధ పరిస్థితుల గురించి ఆలోచించండి. సంఖ్యలు ఉపయోగించబడే ఐదు విభిన్న పరిస్థితులను జాబితా చేయండి.

మన మునుపటి తరగతులలో సంఖ్యలతో పని చేయడం ఆనందించాము. మనం వాటిని కూడాము, తీసివేసాము, గుణించాము మరియు భాగించాము. మనం సంఖ్యల క్రమాలలో నమూనాల కోసం చూశాము మరియు సంఖ్యలతో అనేక ఇతర ఆసక్తికరమైన పనులు చేసాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం కొంత సమీక్ష మరియు పునరావలోకనంతో పాటు అలాంటి ఆసక్తికరమైన విషయాలపై ముందుకు సాగుతాము.

1.2 సంఖ్యలను పోల్చడం

మనం ఇంతకు ముందే ఇందులో చాలా చేసినందున, ఈ క్రింది వాటిలో ఏది గరిష్ఠంగా ఉందో మనం గుర్తుంచుకున్నామో లేదో చూద్దాం:

(i) $92,392,4456,89742 \quad$ నేను గరిష్ఠంగా ఉన్నాను!

(ii) $1902,1920,9201,9021,9210 \quad$ నేను గరిష్ఠంగా ఉన్నాను!

కాబట్టి, మనకు సమాధానాలు తెలుసు.

ఏ సంఖ్య గరిష్ఠంగా ఉందో మీరు ఎలా కనుగొంటారో, మీ స్నేహితులతో చర్చించండి.

ఇవి చేయండి

ప్రతి వరుసలోని గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ సంఖ్యలను మీరు తక్షణమే కనుగొనగలరా?

1. $382,4972,18,59785,750$ $\qquad$ సమాధానం: $59785$ గరిష్ఠ సంఖ్య మరియు 18 కనిష్ఠ సంఖ్య
2. $1473,89423,100,5000,310$ $\qquad$ సమాధానం: ____________________
3. $1834,75284,111,2333,450$ $\qquad$ సమాధానం: ____________________
4. $2853,7691,9999,12002,124$ $\qquad$ సమాధానం: ____________________

అది సులభంగా ఉందా? అది ఎందుకు సులభంగా ఉంది?

మేము అంకెల సంఖ్యను చూసి సమాధానం కనుగొన్నాము.

గరిష్ఠ సంఖ్యకు అత్యధిక వేల సంఖ్యలు ఉంటాయి మరియు కనిష్ఠ సంఖ్య కేవలం వందలలో లేదా పదులలో మాత్రమే ఉంటుంది.

ఈ రకమైన మరో ఐదు సమస్యలను తయారు చేసి, మీ స్నేహితులకు పరిష్కరించడానికి ఇవ్వండి.

ఇప్పుడు, 4875 మరియు 3542 లను మనం ఎలా పోల్చుతాము?

ఇది కూడా చాలా కష్టం కాదు. ఈ రెండు సంఖ్యలు ఒకే సంఖ్యలో అంకెలను కలిగి ఉంటాయి. అవి రెండూ వేల సంఖ్యలలో ఉన్నాయి. కానీ 4875 లో వేల స్థానంలో ఉన్న అంకె 3542 లో ఉన్న అంకె కంటే ఎక్కువ. అందువల్ల, 4875 అనేది 3542 కంటే ఎక్కువ.

ఇవి చేయండి

గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ సంఖ్యలను కనుగొనండి.

(a) $4536, 4892, 4370, 4452$.
(b) $15623, 15073, 15189, 15800$.
(c) $25286, 25245, 25270, 25210$.
(d) $6895, 23787, 24569, 24659$.

తర్వాత, 4875 లేదా 4542 లో ఏది ఎక్కువ అని చెప్పండి? ఇక్కడ కూడా సంఖ్యలు ఒకే సంఖ్యలో అంకెలను కలిగి ఉంటాయి. ఇంకా, రెండింటిలోనూ వేల స్థానంలో ఉన్న అంకెలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అప్పుడు మనం ఏమి చేయాలి? మనం తరువాతి అంకెకు వెళ్తాము, అంటే వందల స్థానంలో ఉన్న అంకెకు. వందల స్థానంలో ఉన్న అంకె 4875 లో 4542 కంటే ఎక్కువ. అందువల్ల, 4875 అనేది 4542 కంటే ఎక్కువ.

రెండు సంఖ్యలలో వందల స్థానంలో ఉన్న అంకెలు కూడా ఒకే విధంగా ఉంటే, అప్పుడు మనం ఏమి చేయాలి?

4875 మరియు 4889 లను పోల్చండి; అలాగే 4875 మరియు 4879 లను పోల్చండి.

1.2.1 మీరు ఎన్ని సంఖ్యలను తయారు చేయగలరు?

మన దగ్గర నాలుగు అంకెలు 7, 8, 3, 5 ఉన్నాయని అనుకుందాం. ఈ అంకెలను ఉపయోగించి, ఏ అంకె కూడా పునరావృతం కాకుండా విభిన్న 4-అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయాలనుకుంటున్నాము. అందువల్ల, 7835 అనుమతించబడుతుంది, కానీ 7735 అనుమతించబడదు. మీరు చేయగలిగినంత 4-అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయండి.

మీరు పొందగలిగే గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది? కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?

గరిష్ఠ సంఖ్య 8753 మరియు కనిష్ఠ సంఖ్య 3578.

రెండింటిలోనూ అంకెల అమరిక గురించి ఆలోచించండి. గరిష్ఠ సంఖ్య ఎలా ఏర్పడిందో మీరు చెప్పగలరా? మీ విధానాన్ని రాయండి.

ఇవి చేయండి

1. ఇచ్చిన అంకెలను పునరావృతం లేకుండా ఉపయోగించి, గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ 4-అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయండి.

(a) $2,8,7,4$
(b) $9,7,4,1$
(c) $4,7,5,0$
(d) $1,7,6,2$
(e) $5,4,0,3$

(సూచన: 0754 అనేది 3-అంకెల సంఖ్య.)

2. ఇప్పుడు ఏదైనా ఒక అంకెను రెండుసార్లు ఉపయోగించి, గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ 4-అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయండి.

(a) $3,8,7$
(b) $9,0,5$
(c) $0,4,9$
(d) $8,5,1$

(సూచన: ప్రతి సందర్భంలో మీరు ఏ అంకెను రెండుసార్లు ఉపయోగిస్తారో ఆలోచించండి.)

3. ఇచ్చిన షరతులతో ఏదైనా నాలుగు విభిన్న అంకెలను ఉపయోగించి, గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ 4-అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయండి.

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (a) }& \text{ ఒకట్ల స్థానంలో ఎల్లప్పుడూ అంకె 7 ఉంటుంది } & \text{ గరిష్ఠ } & \boxed{9}\boxed{8}\boxed{6}\boxed{7} \\ \\ & & \text{ కనిష్ఠ} & \boxed{1}\boxed{0}\boxed{2}\boxed{7} \end{array} $

(గమనిక, సంఖ్య అంకె 0 తో ప్రారంభం కాదు. ఎందుకు?)

${}$ $ \begin{array}{lllr} \text{ (b) }& \text{ పదుల స్థానంలో ఎల్లప్పుడూ అంకె 4 ఉంటుంది } & \text{ గరిష్ఠ } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ కనిష్ఠ} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & & 4 & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (c) }& \text{ వందల స్థానంలో ఎల్లప్పుడూ అంకె 9 ఉంటుంది } & \text{ గరిష్ఠ } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ కనిష్ఠ} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & 9 & & \\ \hline \end{array} \\ \\ \text{ (d) }& \text{ వేల స్థానంలో ఎల్లప్పుడూ అంకె 1 ఉంటుంది } & \text{ గరిష్ఠ } & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \\ \\ & & \text{ కనిష్ఠ} & \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1 & & & \\ \hline \end{array} \end{array} $

4. రెండు అంకెలను తీసుకోండి, 2 మరియు 3 అనుకోండి. రెండు అంకెలను సమాన సంఖ్యలో సార్లు ఉపయోగించి 4-అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయండి.

గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?

కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?

మీరు మొత్తంగా ఎన్ని విభిన్న సంఖ్యలను తయారు చేయగలరు?

సరైన క్రమంలో నిలబడండి

1. ఎవరు పొడవుగా ఉన్నారు?
2. ఎవరు పొట్టిగా ఉన్నారు?

(a) వారి ఎత్తుల పెరుగుతున్న క్రమంలో మీరు వారిని అమర్చగలరా?
(b) వారి ఎత్తుల తగ్గుతున్న క్రమంలో మీరు వారిని అమర్చగలరా?

ఏది కొనాలి?

సోహన్ మరియు రీతా ఒక అల్మారా కొనడానికి వెళ్లారు. వాటి ధర ట్యాగ్లతో అనేక అల్మారాలు అందుబాటులో ఉన్నాయి.

(a) వాటి ధరలను పెరుగుతున్న క్రమంలో మీరు అమర్చగలరా?
(b) వాటి ధరలను తగ్గుతున్న క్రమంలో మీరు అమర్చగలరా?

ఇవి చేయండి

మీరు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పరిమాణాలను పోల్చే ఐదు ఇతర పరిస్థితుల గురించి ఆలోచించండి.

ఆరోహణ క్రమం ఆరోహణ క్రమం అంటే చిన్నది నుండి గరిష్ఠంగా అమర్చడం.

అవరోహణ క్రమం అవరోహణ క్రమం అంటే గరిష్ఠం నుండి చిన్నదిగా అమర్చడం.

ఇవి చేయండి

1. కింది సంఖ్యలను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చండి:

(a) $847,9754,8320,571$
(b) $9801,25751,36501,38802$

2. కింది సంఖ్యలను అవరోహణ క్రమంలో అమర్చండి:

(a) $5000, 7500, 85400, 7861$
(b) $1971,45321,88715,92547$

ఆరోహణ/అవరోహణ క్రమానికి ఇలాంటి పది ఉదాహరణలను తయారు చేసి వాటిని పరిష్కరించండి.

1.2.2 అంకెలను మార్చడం

ఒక సంఖ్యలోని అంకెలు ఒక స్థానం నుండి మరొక స్థానానికి మారగలిగితే ఎంత ఆనందంగా ఉంటుందో మీరు ఆలోచించారా?

182కి ఏమి జరుగుతుందో ఆలోచించండి. అది 821 వలె పెద్దదిగా మరియు 128 వలె చిన్నదిగా మారవచ్చు. 391తో కూడా దీనిని ప్రయత్నించండి.

ఇప్పుడు దీని గురించి ఆలోచించండి. ఏదైనా 3-అంకెల సంఖ్యను తీసుకుని, వందల స్థానంలో ఉన్న అంకెను ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకెతో మార్చండి.

(a) కొత్త సంఖ్య మునుపటి సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉందా?
(b) కొత్త సంఖ్య మునుపటి సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉందా?

ఏర్పడిన సంఖ్యలను ఆరోహణ మరియు అవరోహణ క్రమాలలో రాయండి.

మీరు మొదటి మరియు మూడవ టైల్స్ (అంటే అంకెలు) ను మార్చినట్లయితే, ఏ సందర్భంలో సంఖ్య ఎక్కువ అవుతుంది? ఏ సందర్భంలో అది తక్కువ అవుతుంది?

దీన్ని 4-అంకెల సంఖ్యతో ప్రయత్నించండి.

1.2.3 $1 0 , 0 0 0$ని పరిచయం చేయడం

99 తర్వాత 2-అంకెల సంఖ్య లేదని మనకు తెలుసు. 99 అనేది గరిష్ఠ 2-అంకెల సంఖ్య. అదేవిధంగా, గరిష్ఠ 3-అంకెల సంఖ్య 999 మరియు గరిష్ఠ 4-అంకెల సంఖ్య 9999. మనం 9999కి 1ని కలిపితే ఏమి వస్తుంది?

$ \begin{array}{lllllll} \text{నమూనాను చూడండి : } & 9+1 & = & 10 & = & 10 \times 1 \\ & 99+1 & = & 100 & = & 10 \times 10 \\ & 999+1 & = & 1000 & = & 10 \times 100 \end{array} $

మేము గమనించాము

గరిష్ఠ ఒక అంకె సంఖ్య $+1=$ కనిష్ఠ 2-అంకెల సంఖ్య
గరిష్ఠ 2-అంకెల సంఖ్య $+1=$ కనిష్ఠ 3-అంకెల సంఖ్య
గరిష్ఠ 3-అంకెల సంఖ్య $+1=$ కనిష్ఠ 4-అంకెల సంఖ్య

అప్పుడు మనం గరిష్ఠ 4-అంకెల సంఖ్యకు 1ని కలిపితే, కనిష్ఠ 5-అంకెల సంఖ్య వస్తుందని, అది $9999+1=10000$ అని ఆశించాలి.

9999 తర్వాత వచ్చే కొత్త సంఖ్య 10000. దీనిని పది వేలు అంటారు. ఇంకా, $10000=10 \times 1000$.

1.2.4 స్థాన విలువను మళ్లీ పరిశీలించడం

మీరు ఇది చాలా ముందే చేసారు, మరియు మీరు ఖచ్చితంగా 78 వంటి 2-అంకెల సంఖ్య యొక్క విస్తరణను గుర్తుంచుకుంటారు

$78=70+8=7 \times 10+8$

అదేవిధంగా, మీరు 278 వంటి 3-అంకెల సంఖ్య యొక్క విస్తరణను గుర్తుంచుకుంటారు

$278=200+70+8=2 \times 100+7 \times 10+8$

ఇక్కడ, 8 ఒకట్ల స్థానంలో ఉంది, 7 పదుల స్థానంలో ఉంది మరియు 2 వందల స్థానంలో ఉంది అని మేము చెప్తాము.

తర్వాత మేము ఈ ఆలోచనను 4-అంకెల సంఖ్యలకు విస్తరించాము.

ఉదాహరణకు, 5278 యొక్క విస్తరణ

$ \begin{aligned} 5278 & =5000+200+70+8 \\ & =5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8 \end{aligned} $

ఇక్కడ, 8 ఒకట్ల స్థానంలో ఉంది, 7 పదుల స్థానంలో ఉంది, 2 వందల స్థానంలో ఉంది మరియు 5 వేల స్థానంలో ఉంది.

10000 సంఖ్య మనకు తెలిసినందున, మేము ఆలోచనను మరింత విస్తరించవచ్చు. మేము 5-అంకెల సంఖ్యలను ఇలా రాయవచ్చు

$45278=4 \times 10000+5 \times 1000+2 \times 100+7 \times 10+8$

ఇక్కడ 8 ఒకట్ల స్థానంలో ఉంది, 7 పదుల స్థానంలో ఉంది, 2 వందల స్థానంలో ఉంది, 5 వేల స్థానంలో ఉంది మరియు 4 పది వేల స్థానంలో ఉంది అని మేము చెప్తాము. సంఖ్యను నలభై ఐదు వేల రెండు వందల డెబ్బై ఎనిమిది అని చదువుతారు. ఇప్పుడు మీరు కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ 5-అంకెల సంఖ్యలను రాయగలరా?

ఇవి చేయండి

ఖాళీలు ఉన్న చోట సంఖ్యలను చదవండి మరియు విస్తరించండి.

సంఖ్య	సంఖ్య పేరు	విస్తరణ
20000	ఇరవై వేలు	$2 \times 10000$
26000	ఇరవై ఆరు వేలు	$2 \times 10000+6 \times 1000$
38400	ముప్పై ఎనిమిది వేల నాలుగు వందలు	$3 \times 10000+8 \times 1000 +4 \times 100$
65740	అరవై ఐదు వేల ఏడు వందల నలభై	$6 \times 10000+5 \times 1000 +7 \times 100+4 \times 10$
89324	ఎనభై తొమ్మిది వేల మూడు వందల ఇరవై నాలుగు	$8 \times 10000 + 9 \times 1000 + 3 \times 100+2 \times 10 + 4 \times 1$
50000	_______________	_______________
41000	_______________	_______________
47300	_______________	_______________
57630	_______________	_______________
29485	_______________	_______________
29085	_______________	_______________
20085	_______________	_______________
20005	_______________	_______________

ఐదు ఇతర 5-అంకెల సంఖ్యలను రాయండి, వాటిని చదవండి మరియు విస్తరించండి.

1.2.5 $1,00,000$ని పరిచయం చేయడం

గరిష్ఠ 5-అంకెల సంఖ్య ఏది?

గరిష్ఠ 5-అంకెల సంఖ్యకు 1ని కలిపితే, కనిష్ఠ 6-అంకెల సంఖ్య వస్తుంది: $99,999+1=1,00,000$

ఈ సంఖ్యను ఒక లక్ష అంటారు. ఒక లక్ష 99,999 తర్వాత వస్తుంది.

$10 \times 10,000=1,00,000$

ఇప్పుడు మనం 6-అంకెల సంఖ్యలను విస్తరించిన రూపంలో ఇలా రాయవచ్చు

$ \begin{aligned} 2,46,853= & 2 \times 1,00,000+4 \times 10,000+6 \times 1,000+ \\ & 8 \times 100+5 \times 10+3 \times 1 \end{aligned} $

ఈ సంఖ్యలో 3 ఒకట్ల స్థానంలో ఉంది, 5 పదుల స్థానంలో ఉంది, 8 వందల స్థానంలో ఉంది, 6 వేల స్థానంలో ఉంది, 4 పది వేల స్థానంలో ఉంది మరియు 2 లక్ష స్థానంలో ఉంది. దీని సంఖ్యా పేరు రెండు లక్షల నలభై ఆరు వేల ఎనిమిది వందల యాభై మూడు.

ఇవి చేయండి

ఖాళీలు ఉన్న చోట సంఖ్యలను చదవండి మరియు విస్తరించండి.

సంఖ్య	సంఖ్య పేరు	విస్తరణ
$3,00,000$	మూడు లక్షలు	$3 \times 1,00,000$
$3,50,000$	మూడు లక్షల యాభై వేలు	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000$
$3,53,500$	మూడు లక్షల యాభై మూడు వేల ఐదు వందలు	$3 \times 1,00,000+5 \times 10,000 +3 \times 1000+5 \times 100$
$4,57,928$	__________	__________
$4,07,928$	__________	__________
$4,00,829$	__________	__________
$4,00,029$	__________	__________

1.2.6 పెద్ద సంఖ్యలు

మనం గరిష్ఠ 6-అంకెల సంఖ్యకు ఇంకొకటి కలిపితే, కనిష్ఠ 7-అంకెల సంఖ్య వస్తుంది. దీనిని పది లక్షలు అంటారు.

గరిష్ఠ 6-అంకెల సంఖ్య మరియు కనిష్ఠ 7-అంకెల సంఖ్యను రాయండి. గరిష్ఠ 7-అంకెల సంఖ్య మరియు కనిష్ఠ 8-అంకెల సంఖ్యను రాయండి. కనిష్ఠ 8-అంకెల సంఖ్యను ఒక కోటి అంటారు.

నమూనాను పూర్తి చేయండి:

$\begin{array}{ll}9+1 & =10 \\ 99+1 & =100 \\ 999+1 & = ——\\ 9,999+1 & = ——\\ 99,999+1 & = ——\\ 9,99,999+1 & = ——\\ 99,99,999+1 & =-1,00,00,000 \end{array}$

ఇవి చేయండి

1. $10-1=$ అంటే ఏమిటి?
2. $100-1=$ అంటే ఏమ